Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

（2）解：△ADF是等腰直角三角形．

理由：∵AB=AC，AD是高，

∴∠BAD=∠CAD

又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，

∴∠FAD= ×180°=90°，

∴AF∥BC，

∴∠CDF=∠AFD．

又∵∠AFD=∠ADF，

∴∠CDF=∠ADF．

∴AD=AF．

∴△ADF是等腰直角三角形

【解析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于 GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD= ×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．