Question

在平面直角坐标系中，A（4，4），B（4，0），点D为x轴上的动点，连接AD，将AD绕点A逆时针方向旋转90°到AE，连接OE交AB于点P．
（1）当点D与点B重合时，求点P的坐标；
（2）当点D运动到OB中点处时，求证：AP=3BP；
（3）已知点F（0，4），当点D在x轴上运动时，连接OA、FD，在射线BA上取一点R，连接DR、FR，使得∠DFR=∠AOB．试探究AR、DR、OD三者的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）由条件易证△APE≌△BPO，可得PB=PA=2，于是可得P（4，2）．
（2）由条件易证△APE≌△BPO，可得AQ=DB，EQ=AB，再证△EPQ≌△OPB，可得PQ=PB，易得AP=3，BP=1．
（3）①由条件易证△EFA≌△DFO，可得EF=ED，AE=OD，再证△EFR≌△DFR，可得DR=OD+AR；
   ②同理可证△EFA≌△DFO，△EFR≌△DFR，所以OD=AR+DR．

解答：解：（1）
由题意知E（8，4）
∴AE=B0=4，
在△APE和△BPO中，

∠A=∠PBO ∠APE=∠BPO AE=BO

，
∴△APE≌△BPO（AAS），
∴AP=BP，
∵A（4，4），B（4，0）
∴AB=4，
∴AP=BP=2，
∴P点坐标（4，2）；
（2）过点E作EQ⊥AB，垂足为Q，

∴∠EQA=∠ABD=90°，
∵∠ADB+∠DAB=90°，∠DAB+∠EAQ=90°，
∴∠ADB=∠EAQ，
在△AQE和△DBA中，

∠ADB=∠EAQ ∠EQA=∠ABD AE=AD

，
∴△AQE≌△DBA（AAS），
∴AQ=DB，EQ=AB，
∵AB=OB=4，D是OB的中点，
∴AQ=DB=OD=BQ=2，EQ=AB=OB=4，
在△EPQ和△OPB中，

∠EQP=∠OBP ∠EPQ=∠OPB EQ=OB

，
∴△EPQ≌△OPB（AAS），
∴PQ=PB=1，
∴AP=AQ+PQ=3，
∴AP=3BP；
（3）因为∠OFB=45°，当点D在X轴负半轴且∠DFR=45°时，点R不可能在射线BA上；当点D与点O重合时，点R与点B重合时，此时AR=DR，OD=0；当点D与点B重合时，此时点R与点A重合，此时AR=0，DR=OD．
①当点D在点O与点B之间时，过点F作FE⊥FD交BA的延长线于点E，如图（1），

由题意可知OF=AF=4，∠FAE=∠FOD=90°，
∵∠EFA+∠AFD=90°，∠AFD+∠DFO=90°，
∴∠EFA=∠DFO，
在△EFA和△DFO中，

∠EFA=∠DFO AF=OF ∠FAE=∠FOD

，
∴△EFA≌△DFO（ASA），
∴EF=ED，AE=OD，
∵∠DFR=45°，∠DFR+∠EFR=90°，
∴∠EFR=∠DFR=45°，
在△EFR和△DFR中，

EF=ED ∠EFR=∠DFR FR=FR

，
∴△EFR≌△DFR（SAS），
∴ER=DR，
∵ER=AE+AR=OD+AR，
∴DR=OD+AR；
②当点D在点B的右边时，如图（2），

同理可证△EFA≌△DFO，△EFR≌△DFR，
可得AE=OD，ER=DR，
∵AE=AR+ER=AR+DR，
∴OD=AR+DR，

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．