Question

【题目】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3ab+3ab2+b3展开式中的系数．结合对杨辉三角的理解完成以下问题

（1）（a+b）2展开式a2+2ab+b2中每一项的次数都是　 　次；

（a+b）3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中每一项的次数都是　 　次；

那么（a+b）n展开式中每一项的次数都是　 　次．

（2）写出（a+1）4的展开式　 　．

（3）拓展应用：计算（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的结果中，x5项的系数为　 　．

Answer 1

【答案】（1）2，3，n；（2）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（3）16.

【解析】

（1）观察（a+b）2展开式和（a+b）3展开式中各项，即可得答案，从而推出（a+b）n的展开项；

（2）根据杨辉三角图中可知（a+1）4的展开式的各项系数，即可得解；

（3）（x+1）5中x5项的系数为1；再按杨辉三角，分别求得（x﹣1）6和（x+1）7展开式中x5项的系数，几个系数相加即可得答案．

解：（1）（a+b）2展开式a2+2ab+b2中的项分别为：a2、2ab、b2，它们的次数都是2，

（a+b）3展开式a3+3a2b+3ab2+b3中的项分别为：a3、3a2b、3ab2、b3，它们的次数都是3，

由此推出（a+b）n展开式的次数都是n，

故答案为：2，3，n；

（2）根据杨辉三角图中可知（a+1）4的展开式的各项系数分别为：1，4，6，4，1则展开式为：（a+1）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，

故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；

（3）（x+1）5中x5项的系数为1，

按照杨辉三角可知（x﹣1）6＝x6+6x5（﹣1）+…+1，（x+1）7＝x7+7x6×1+21x5×12+…+1，

∴（x+1）5+（x﹣1）6+（x+1）7的结果中，x5项的系数为：1+6×（﹣1）+21＝16

故答案为：16．