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【题目】如图①,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F.

(1)求CE的长;

(2)建立平面直角坐标系如图②所示,在x轴上找一点P,使PA+PE的值最小,求出最小值和点P的坐标;

(3)如图③,DE的延长线与AF的延长线交于点G,在y轴上是否存在点M,使△FGM是直角三角形?如果存在,求出点M的坐标:如果不存在,说明理由.

【答案】(1)3(2)P(,0),最小值为(3)存在;M坐标为(0,﹣)或(0,﹣4.5)

【解析】

1)设CEx,知DEEF8x,由ADAF10AB8BF6CF4,根据CE2+CF2EF2求解可得.

2)作点E关于x轴的对称点Q,连接AQ,与x轴的交点即为所求,先得出DQ的长度,再根据AQ可得最小值;再求出直线AQ解析式为y=﹣x+8,据此进一步求解可得.

3)先证AOF∽△GCF,据此求得G10,﹣),根据点M0a),F60)知MF2a2+36GM2102+a+2FG216+2,分MF2+GM2FG2FG2+GM2MF2FG2+MF2GM2三种情况分别求解可得.

1)如图①,

CEx

DEEF8x

ADAF10AB8

BF6

CF4

RtCEF中,由CE2+CF2EF2x2+42=(8x2

解得x3,即CE3

2)如图②,作点E关于x轴的对称点Q,连接AQ,与x轴的交点即为所求.

CECQ3

∴点Q10,﹣3),

DQCD+CQ11

AQ

A08),Q10,﹣3)可得直线AQ解析式为y=﹣x+8

y0时,﹣x+80

解得:x

所以点P0),最小值为

3)如图③,设M0a),

∵∠AOF=∠GCF90°,∠AFO=∠GFC

∴△AOF∽△GCF

,即

解得GC

G10,﹣),

F60),

MF262+a2a2+36GM2102+a+2FG2=(1062+(﹣0216+2

①若MF2+GM2FG2,即a2+36+102+a+216+2

整理,得:3a2+16a+1800

此方程无解;

②若FG2+GM2MF2,即16+2+102+a+2a2+36

解得a=﹣,则M0,﹣);

③若FG2+MF2GM2,即16+2+a2+36102+a+2

解得a=﹣4.5,则M0,﹣4.5);

综上,点M的坐标为(0,﹣)或(0,﹣4.5).

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分组

49.559.5

59.569.5

69.579.5

79.589.5

89.5100.5

合计

频数

2

8

20

a

4

c

频率

0.04

b

0.40

0.32

0.08

1

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A.
B.
C.
D.

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