【题目】如图①,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求CE的长;
(2)建立平面直角坐标系如图②所示,在x轴上找一点P,使PA+PE的值最小,求出最小值和点P的坐标;
(3)如图③,DE的延长线与AF的延长线交于点G,在y轴上是否存在点M,使△FGM是直角三角形?如果存在,求出点M的坐标:如果不存在,说明理由.
【答案】(1)3(2)P(,0),最小值为(3)存在;M坐标为(0,﹣)或(0,﹣4.5)
【解析】
(1)设CE=x,知DE=EF=8﹣x,由AD=AF=10,AB=8知BF=6,CF=4,根据CE2+CF2=EF2求解可得.
(2)作点E关于x轴的对称点Q,连接AQ,与x轴的交点即为所求,先得出DQ的长度,再根据AQ=可得最小值;再求出直线AQ解析式为y=﹣x+8,据此进一步求解可得.
(3)先证△AOF∽△GCF得,据此求得G(10,﹣),根据点M(0,a),F(6,0)知MF2=a2+36,GM2=102+(a+)2,FG2=16+()2,分MF2+GM2=FG2,FG2+GM2=MF2,FG2+MF2=GM2三种情况分别求解可得.
(1)如图①,
设CE=x,
则DE=EF=8﹣x,
∵AD=AF=10,AB=8,
∴BF=6,
∴CF=4,
在Rt△CEF中,由CE2+CF2=EF2得x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,即CE=3;
(2)如图②,作点E关于x轴的对称点Q,连接AQ,与x轴的交点即为所求.
则CE=CQ=3,
∴点Q(10,﹣3),
∴DQ=CD+CQ=11,
∴AQ===,
由A(0,8),Q(10,﹣3)可得直线AQ解析式为y=﹣x+8,
当y=0时,﹣x+8=0,
解得:x=,
所以点P(,0),最小值为;
(3)如图③,设M(0,a),
∵∠AOF=∠GCF=90°,∠AFO=∠GFC,
∴△AOF∽△GCF,
∴,即,
解得GC=,
则G(10,﹣),
∵F(6,0),
∴MF2=62+a2=a2+36,GM2=102+(a+)2,FG2=(10﹣6)2+(﹣﹣0)2=16+()2,
①若MF2+GM2=FG2,即a2+36+102+(a+)2=16+()2,
整理,得:3a2+16a+180=0,
此方程无解;
②若FG2+GM2=MF2,即16+()2+102+(a+)2=a2+36,
解得a=﹣,则M(0,﹣);
③若FG2+MF2=GM2,即16+()2+a2+36=102+(a+)2,
解得a=﹣4.5,则M(0,﹣4.5);
综上,点M的坐标为(0,﹣)或(0,﹣4.5).
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【题目】平面镜反射光线的规律:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图①,一束光线m射到平面镜a上,被a反射后的光线为n,则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等,即∠1=∠2.
如图②所示,AB,CD为两面平面镜,经过两次反射后,入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变,请你计算:图②中,当两平面镜AB,CD的夹角∠ABC是多少度时,可以使入射光线m与反射光线n平行但方向相反.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,P(a,b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经平移得到△A1B1C1,且点P的对应点为P1(a+5,b+4).
(1)写出△ABC的三个顶点的坐标;
(2)请在平面直角坐标系中画出△A1B1C1.
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【题目】某校数学兴趣小组成员刘明对本班上学期期末考试数学成绩(成绩取整数,满分为100分)作了统计分析(每个人的成绩各不相同),绘制成如下下频数分布表和频数分布直方图,请你根据图表提供的信息,解答下列问题:
(1)频数、频率分布表中a= ,b= ,c= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)如果要画该班上学期期末考试数学成绩的扇形统计图,那么分数在69.5﹣79.5之间的扇形圆心角的度数是 ;
(4)张亮同学成绩为79分,他说:“我们班上比我成绩高的人还有,我要继续努力.”他的说法正确吗?请说明理由.
分组 | 49.5~59.5 | 59.5~69.5 | 69.5~79.5 | 79.5~89.5 | 89.5~100.5 | 合计 |
频数 | 2 | 8 | 20 | a | 4 | c |
频率 | 0.04 | b | 0.40 | 0.32 | 0.08 | 1 |
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【题目】如图,已知直线,直线和直线交于点和点,为直线上的一点,,分别是直线,上的定点.
(1)若点在线段(、两点除外)上运动时,问、、之间的关系是什么?这种关系是否发生变化?请说明理由;
(2)若在线段之外时,、、的关系又怎样?说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(﹣6,7),(﹣3,0),(0,3).
(1)画出三角形ABC,并求三角形ABC的面积;
(2)将三角形ABC平移得到三角形A′B′C′,点C经过平移后的对应点为C′(5,4),画出平移后的三角形A′B′C′,并写出点A′,B′的坐标:A′(________),B′(________)
(3)已知点P(﹣3,m)为三角形ABC内一点,将点P向右平移4个单位后,再向下平移6个单位得到点Q(n,﹣3),则m=________,n=________.
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【题目】如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形,若∠A=100°,∠B=∠D=85°,∠C=90°,则根据图中标示的角,判断下列∠1,∠2,∠3的大小关系,何者正确( )
A. ∠1=∠2>∠3 B. ∠1=∠3>∠2 C. ∠2>∠1=∠3 D. ∠3>∠1=∠2
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【题目】以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1),一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2 , 再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
OA22=()2+1=2,S1=;
OA32=12+()2=3,S2=;
OA42=12+()2=4,S3=;…
(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律:OAn2=________,Sn=________;
(2)若一个三角形的面积是2,计算说明它是第几个三角形?
(3)求出S12+S22+S32+…+S92的值.
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