Question

求函数y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值．

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：数形结合

分析：可将不熟悉的“求两个二次根式和的最小值”的问题转化为熟悉的“求两条线段和的最小值“的问题．若A的坐标为（x，0），B的坐标为（-2，1），C的坐标为（2，2），则根据勾股定理可得AB=

(x+2)2+12

，AC=

(x-2)2+22

，从而得到y=AB+AC，只需求出AB+AC的最小值就可解决问题．

解答：解：如图，B的坐标为（-2，1），C的坐标为（2，2），点A在x轴上．
过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，延长CE到点C′，使得EC′=EC，连接AB、AC、AC′、BC′，
则点C′的坐标为（2，-2）．
设点A的坐标为（x，0），
在Rt△ADB中，
∵AD=

.

x-(-2)

.

=

.

x+2

.

，BD=1，
∴AB=

AD2+BD2

=

(x+2)2+12

=

x2+4x+5

．
在Rt△AEC中，
∵AE=

.

2-x

.

，CE=2，
∴AC=

AE2+CE2

=

(2-x)2+22

=

x2-4x+8

．
∵AE⊥CC′，CE=C′E，∴AC=AC′．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

=AB+AC=AB+AC′．
根据两点之间线段最短可得：
当B、A、C′三点共线时，y取到最小值，等于BC′长．
过点C′作C′H⊥BD交BD的延长线于H，
在Rt△BHC′中，
∵BH=1-（-2）=3，C′H=2-（-2）=4，
∴BC′=

BH2+C′H2

=5．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值为5．

点评：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，考查了创造性思维和数形结合的思想，而把问题转化为求线段和的最小值是解决本题的关键．