【题目】直线:,与轴,轴分别交于两点,抛物线:,经过点,且与轴的另一个交点为点.
(1)若,求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点坐标;
(2)在直线与抛物线围成的封闭图形边界上,横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”,求出在(l)的条件下“神秘点”的个数;
(3)①直线与轴的交点的坐标会变吗?说明理由;
②若抛物线与直线在的范围内有唯一公共点,请直接写出的取值范围.
【答案】(1),顶点为,;(2)①不会变,理由见解析;②,,
【解析】
(1)将a=1代入一次函数解析式求得点A的坐标,然后将a的值及 A点坐标代入二次函数解析式求得b的值,然后利用配方法和二次函数的性质求二次函数顶点坐标及点C的坐标;
(2)通过联立方程组求得直线与抛物线的交点坐标,从而确定“神秘点”的个数;
(3)①将一次函数变形为,然后分析无论取何非零实数,恒为0,从而求解;
②结合点A坐标求得抛物线的解析式及对称轴,然后分a>0,a<0时结合函数图像讨论求得a的取值范围.
解:(1)若,,当时,
∴,
将代入,可得
∴
∴顶点为
∵点,点关于对称
∴
(2)设直线与抛物线的另一个交点为,
,
解得,,所以交点为和,
所以,直线上神秘点为,,,,,共6个,
抛物线上神秘点为,,,共4个,
综上,神秘点个数为10;
(1)①不会变,,
当时,无论取何非零实数,恒为0,
所以,直线永远经过点,所以点坐标不会改变;
②,,
由①知恒过
∴过∴∴
∴
∴与轴恒交于,
对称轴为不变
∵与在有唯一公共点
∴当时过
解得
∵开口越小,越大
∴
当时
①顶点在上,顶点为
∴
②抛物线恰好过
∴
∴
综上,,时抛物线与在有唯一公共点
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【题目】如图,△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,点F是BC上一点,∠B=∠DEF.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
(2)直接写出当△ABC满足什么条件时,四边形BDEF是菱形.
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【题目】在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,点F在边AD上,且DF=BE,连接DE,CF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若DE平分∠ADC,AB=5,AD=8,求tan∠ADE的值.
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【题目】如图,已知ABCD.
(1)作∠B的平分线交AD于E点。(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)若ABCD的周长为10,CD=2,求DE的长。
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【题目】魔术师说将你想到的数进行以下四步操作,我就可以猜到你心里想的数.
第一步:心中想一个数,求其平方;
第二步:想比这个数小2的数,求其平方;
第三步:求其平方的差值;
第四步:平方的差值除以4再加1.
将结果告诉我,我就能猜中你心里想的数.
(1)若你想的数是5,求出你告诉魔术师的结果是多少.
(2)聪明的同学们,你觉得魔术师的步骤一定能猜中你心中的数吗?请用代数式计算证明你的结论.
解答:魔术师 猜中你心中的数(填“能”或“否”);
证明:设心中想的数为(为任意实数)
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【题目】如图,宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB,某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为,吊灯底端B的仰角为,从C点沿水平方向前进6米到达点D,测得吊灯底端B的仰角为.请根据以上数据求出吊灯AB的长度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,≈1.41,≈1.73)
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【题目】《中学生体质健康标准》规定的等级标准为:90分及以上为优秀,80~89分为良好,60~79分为及格,59分及以下为不及格.某校为了解七、八年级学生的体质健康情况,现从两年级中各随机抽取10名同学进行体质健康检测,并对成绩进行分析.成绩如下:
七年级 | 80 | 74 | 83 | 63 | 90 | 91 | 74 | 61 | 82 | 62 |
八年级 | 74 | 61 | 83 | 91 | 60 | 85 | 46 | 84 | 74 | 82 |
(1)根据上述数据,补充完成下列表格中序号.
整理数据:
分析数据:
年级 | 平均数 | 众数 | 中位数 |
七年级 | ②_________ | 74 | 77 |
八年级 | 74 | 74 | ③____________ |
(2)该校目前七年级有300人,八年级有200人,试估计两个年级体质健康等级达到优秀的学生共有多少人?
(3)结合上述数据信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好,并说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连结AC,过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.
(1)求证:△ECF∽△GCE;
(2)求证:EG是⊙O的切线;
(3)延长AB交GE的延长线于点M,若tanG=,AH=,求EM的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与y轴交于点C,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,纵坐标为4,点B在第三象限,BM⊥x轴,垂足为点M,BM=OM=2.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)连接OB,MC,求四边形MBOC的面积.
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