Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)和点B（0，4）．

（1）求直线AB所对应的函数表达式；

（2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△BOC的面积；

（3）若将直线OC沿x轴向右平移，交y轴于点O′，当△AB O′为等腰三角形时，直接写出点O′的坐标．

Answer 1

【答案】(1)； (2)S△BOC=；(3) 点O′的坐标为（0，）或（0，-4）或（0，）.

【解析】

（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式；
（2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点B的坐标即可求出△BOC的面积；
（3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三种情况考虑：①当AB=AO′时，由等腰三角形的性质可得出OB=OO′，结合点B的坐标可得出点O′的坐标；②当O′B=O′A时，设OO′=x，则O′A=4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出点O′的坐标；③当BA=BO′时，利用勾股定理可求出BO′的值，结合点B的坐标可得出点O′的坐标．综上，此题得解．

解：（1）∵A（5，0），B（0，4）

设AB表达式为：y=kx+b，将A，B坐标代入表达式 ，

解得：k=，b=4，

∴AB表达式为：.

(2) 联立和y=x，

解得：y=x=

∴C(,)，

∴S△BOC==.

(3) 若△ABO′为等腰三角形，有三种情况

①当AB=AO时，由三线合一可得OB=OO′，

∵B（0，4），

∴O′（0，-4）；

②当O′B=O′A时，设OO′=x，

∴O′B=O′A=4+x，

∵OA=5,

∴在△OO′A中，OO′2+OA2=O′A2，

则x2+52=（4+x）2，

解得：x=，

∴O′（0，）；

③当BA=BO′时，设OO′=y，

∴O′B=AB=4+y，

∵OA=5,

∴在△ABO中，AO2+BO2=AB2，

则42+52=（4+y）2，

解得：y=，

∴O′（0，）

综上：点O′的坐标为（0，）或（0，-4）或（0，）.