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【题目】如图,点A从坐标原点出发,沿x轴的正方向运动,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,BC,设点A的横坐标为t.

(1)当点C与点E恰好重合时,求t的值;
(2)当t为何值时,BC取得最小值;
(3)设△BCE的面积为S,当S=6时,求t的值.

【答案】
(1)解:当点C与点E重合时,如图1,

则OB=EF=4,OA=t,且AB=2AE,

∵由题意可知∠BAE=90°,

∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°,

∴∠AEF=∠BAO,且∠EFA=∠AOB,

∴Rt△AEF∽Rt△BAO,

= = ,即 = ,解得t=8


(2)解:如图2,

∵AB=2AC,

∴BC= = AC,

在Rt△AOB中,由勾股定理可得

∴当t=0时,AB有最小,则BC有最小值


(3)解:①当0<t≤8时,则点C在点E的下方,如图2,

同(1)可知 = = ,解得AF=2,CF= t,

∴BE=OF=OA+AF=t+2,CE=EF﹣CF=4﹣ t,

∴S= BECE= (t+2)(4﹣ t)=﹣ t2+ t+4,

令S=6,可得﹣ t2+ t+4=6,解得t=2或t=4;

②当t>8时,则点C在点E的上方,如图3,

则CE=CF﹣EF= t﹣4,

∴S= BECE= (t+2)( t﹣4)= t2 t﹣4,

令S=6可得 t2 t﹣4=6,解得t=﹣4(舍去)或t=10,

即当S的值为6时,t的值为2或4或10


【解析】(1)首先证明△AEF∽△BAO,然后依据相似三角形对应边成比例的性质列方出求解即可;
(2)在Rt△ABC中可求得BC和AB的关系,然后在Rt△AOB中,用t可表示出AB,然后再可用t表示出BC,最后利用二次函数的性质可求得BC取得最小值时t的值;
(3)分为0<t≤8和t>8两种情况求得S关于t的函数表达式,最后,再令S=6,从而可得到关于t的方程,从而可求得t的值.

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