【题目】如图,点A从坐标原点出发,沿x轴的正方向运动,点B坐标为(0,4),M是线段AB的中点,将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,过点C作x轴的垂线,垂足为F,过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E,连接AC,BC,设点A的横坐标为t.
(1)当点C与点E恰好重合时,求t的值;
(2)当t为何值时,BC取得最小值;
(3)设△BCE的面积为S,当S=6时,求t的值.
【答案】
(1)解:当点C与点E重合时,如图1,
则OB=EF=4,OA=t,且AB=2AE,
∵由题意可知∠BAE=90°,
∴∠EAF+∠BAO=∠EAF+∠AEF=90°,
∴∠AEF=∠BAO,且∠EFA=∠AOB,
∴Rt△AEF∽Rt△BAO,
∴ = = ,即 = ,解得t=8
(2)解:如图2,
∵AB=2AC,
∴BC= = AC,
∴ ,
在Rt△AOB中,由勾股定理可得 ,
∴当t=0时,AB有最小,则BC有最小值
(3)解:①当0<t≤8时,则点C在点E的下方,如图2,
同(1)可知 = = ,解得AF=2,CF= t,
∴BE=OF=OA+AF=t+2,CE=EF﹣CF=4﹣ t,
∴S= BECE= (t+2)(4﹣ t)=﹣ t2+ t+4,
令S=6,可得﹣ t2+ t+4=6,解得t=2或t=4;
②当t>8时,则点C在点E的上方,如图3,
则CE=CF﹣EF= t﹣4,
∴S= BECE= (t+2)( t﹣4)= t2﹣ t﹣4,
令S=6可得 t2﹣ t﹣4=6,解得t=﹣4(舍去)或t=10,
即当S的值为6时,t的值为2或4或10
【解析】(1)首先证明△AEF∽△BAO,然后依据相似三角形对应边成比例的性质列方出求解即可;
(2)在Rt△ABC中可求得BC和AB的关系,然后在Rt△AOB中,用t可表示出AB,然后再可用t表示出BC,最后利用二次函数的性质可求得BC取得最小值时t的值;
(3)分为0<t≤8和t>8两种情况求得S关于t的函数表达式,最后,再令S=6,从而可得到关于t的方程,从而可求得t的值.
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【题目】甲、乙两人参加某体育训练项目,近期的五次测试成绩得分情况如图.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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【题目】关于x的一元二次方程(m﹣2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<
B.m> 且m≠2
C.m≤
D.m≥ 且m≠2
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【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上在A左侧的一点,且A,B两点间的距离为10.动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.(1)设运动时间为t(t>0)秒,数轴上点B表示的数是 ,点P表示的数是 (用含t的代数式表示);(2)若点P、Q同时出发,求:①当点P运动多少秒时,点P与点Q相遇?②当点P运动多少秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度?
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【题目】读句画图:如图,直线CD与直线AB相交于C,
根据下列语句画图:
(1)过点P作PQ∥CD,交AB于点Q;
(2)过点P作PR⊥CD,垂足为R;
(3)若∠DCB=120°,猜想∠PQC是多少度?并说明理由.
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【题目】已知在△ABC中,AB=AC. (1)若∠A=36,在△ABC中画一条线段,能得到2个等腰三角形(不包括△ABC),这2个等腰三角形的顶角的度数分别是_____;(2)若∠A≠36, 当∠A=_____时,在等腰△ABC中画一条线段,能得到2个等腰三角形(不包括△ABC).(写出两个答案即可)
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