Question

3．如图，直线CO⊥AB于点O，OA=OB=OC=8，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的$\frac{1}{4}$．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
（1）求线段CE的长；
（2）连接GF．请你判断GF与CB的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过D作DH垂直于AB，由OA=OB=OC，求出AB的长，进而求出三角形ABC面积，根据三角形ABC面积与三角形ABD面积的关系求出三角形ABD面积，进而求出DH的长，根据三角形BOC为等腰直角三角形，得到三角形BDH为等腰直角三角形，求出HB的长，由AB-HB求出AH的长，在直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AD的长，由三角形ABC面积减去三角形ABD面积求出三角形ACD面积，即可确定出CE的长；
（2）连接GF，可得GF与BC平行，理由为：由一对对顶角相等，一对直角相等，利用内角和定理得到一对角相等，再由OA=OC，利用ASA得到三角形AOG与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OG=OF，即三角形GOF为等腰直角三角形，进而得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证．

解答 解：（1）过D作DH⊥AB，交AB于点H，
∵AO=OB=OC=8，即AB=16，且OC⊥AB，
∴△ABC面积为$\frac{1}{2}$AB•OC=64，
∵△ABD的面积为△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴△ABD面积为$\frac{1}{2}$AB•DH=$\frac{1}{2}$×16DH=16，△ACD面积为64-16=48，
∴DH=2，
∵OB=OC，OC⊥OB，
∴△BOC为等腰直角三角形，即∠CBO=45°，
∴△DBH为等腰直角三角形，即HB=DH=2，
∴AH=AB-HB=16-2=14，
在Rt△ADH中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∵CE⊥AD，△ACD面积为48，
∴$\frac{1}{2}$AD•CE=48，即$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{2}$CE=48，
解得：CE=$\frac{24\sqrt{2}}{5}$；
（2）连接GF，可得GF∥CB，理由为：
∵∠CGD=∠AGO，∠COF=∠AOG=90°，
∴∠OAG=∠OCF，
在△AOG和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOG=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△COF（ASA），
∴OG=OF，
∴△GOF为等腰直角三角形，
∴∠GF0=45°，
∵∠B=45°，即∠GFO=∠B，
∴GF∥CB．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，以及三角形面积求法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题第二问的关键．