Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，

解得，

抛物线的解析式y=x²﹣2x﹣3；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得

y=（x﹣1）²﹣4，

M点的坐标为（1，﹣4），

M′点的坐标为（1，4），

设AM′的解析式为y=kx+b，

将A、M′点的坐标代入，得

，

解得，

AM′的解析式为y=2x+2，

联立AM′与抛物线，得

，

解得，

C点坐标为（5，12）．

S_△ABC=×4×12=24；

（3）存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，

由ABPQ是正方形，A（﹣1，0）B（3，0），得

P（1，﹣2），Q（1，2），或P（1，2），Q（1，﹣2），

①当顶点P（1，﹣2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²﹣2，

将A点坐标代入函数解析式，得

a（﹣1﹣1）²﹣2=0，

解得a=，

抛物线的解析式为y=（x﹣1）²﹣2，

②当P（1，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²+2，将

A点坐标代入函数解析式，得

a（﹣1﹣1）²+2=0，

解得a=﹣，

抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）²+2，

综上所述：y=（x﹣1）²﹣2或y=﹣（x﹣1）²+2，使得四边形APBQ为正方形．