Question

【题目】【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sin α＝，求sin 2α的值．

小娟是这样给小芸讲解的：

如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°. 设∠BAC＝α，则sin α＝＝.易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝2 x.作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin 2α＝＝________.

【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sin β＝，求sin 2β的值．

Answer 1

【答案】；;sin 2β＝.

【解析】试题分析：（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD= ，在Rt△COD中， sin2α==．（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，可得MQ==4k，由MNMQ=NQMR，求出MR=，在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=，计算即可求得sin 2β的值．

试题解析：

（1）；

（2）如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R.

在⊙O中，∠NMQ＝90°.

∵∠Q＝∠P＝β，

∴∠MON＝2∠Q＝2β.

在Rt△QMN中，

∵sin β＝，

∴设MN＝3k，则NQ＝5k，

∴MQ＝＝4k，

OM＝NQ＝k.

∵S△NMQ＝MN·MQ＝NQ·MR，

∴3k·4k＝5k·MR.

∴MR＝k.

在Rt△MRO中，

sin 2β＝sin ∠MON＝＝＝.