【题目】【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题:已知α为锐角,且sin α=,求sin 2α的值.
小娟是这样给小芸讲解的:
如图①,在⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α,则sin α==
.易得∠BOC=2α.设BC=x,则AB=3x,AC=2
x.作CD⊥AB于D,求出CD=________(用含x的式子表示),可求得sin 2α=
=________.
【问题解决】已知,如图②,点M,N,P为⊙O上的三点,且∠P=β,sin β=,求sin 2β的值.
【答案】;
;sin 2β=
.
【解析】试题分析:(1)如图1中,⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,所以∠ACB=90°,作CD⊥AB于D.设∠BAC=α,则sinα==
,可设BC=x,则AB=3x.利用面积法求出CD=
,在Rt△COD中, sin2α=
=
.(2)如图2中,连接NO,并延长交⊙O于点Q,连接MQ,MO,过点M作MR⊥NO于点R.先证明∠MON=2∠Q=2β,在Rt△QMN中,由sinβ=
,设MN=3k,则NQ=5k,易得OM=
NQ=
,可得MQ=
=4k,由
MNMQ=
NQMR,求出MR=
,在Rt△MRO中,根据sin2β=sin∠MON=
,计算即可求得sin 2β的值.
试题解析:
(1);
(2)如图,连接NO,并延长交⊙O于点Q,连接MQ,MO,过点M作MR⊥NO于点R.
在⊙O中,∠NMQ=90°.
∵∠Q=∠P=β,
∴∠MON=2∠Q=2β.
在Rt△QMN中,
∵sin β=,
∴设MN=3k,则NQ=5k,
∴MQ==4k,
OM=NQ=
k.
∵S△NMQ=MN·MQ=
NQ·MR,
∴3k·4k=5k·MR.
∴MR=k.
在Rt△MRO中,
sin 2β=sin ∠MON==
=
.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,O在AB上,以O为圆心,OB长为半径的圆与BC交于点D,DE⊥AC于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AC与⊙O相切于F,AB=5,sinA=,求⊙O的半径.
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【题目】在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都是网格线的交点,已知B,C两点的坐标分别为(-1,-1),(1,-2),将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′.
(1)在图中画出△A′B′C′并写出点A的对应点A′坐标;
(2)求出在△ABC旋转的过程中,点A经过的路径长.
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【题目】如图,在下面直角坐标系中,已知
(1)求的面积
(2)若以点为顶点画平行四边形,则请你“利用平移的知识”直接写出符合条件的所有的平行四边形的第四个顶点
的坐标
(3)是否存在轴上的点
,使
的面积是
的面积的
倍,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如图(1),若∠AOC=,求∠DOE的度数;
(2)如图(2),将∠COD绕顶点O旋转,且保持射线OC在直线AB上方,在整个旋转过程中,当∠AOC的度数是多少时,∠COE=2∠DOB.
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【题目】据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪,如图,AD=24m,∠D=90°,第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶,测得∠ABD=31°,2秒后到达C点,测得∠ACD=50°.
(1)求B,C的距离.
(2)通过计算,判断此轿车是否超速.(tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,结果精确到1m)
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【题目】小明有5张写着不同数字的卡片,请按要求抽出卡片,完成下列各问题:
(1)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的乘积最大,如何抽取?最大值是多少?答:我抽取的2张卡片是________、________,乘积的最大值为________.
(2)从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最小,如何抽取?最小值是多少?答:我抽取的2张卡片是________、________,商的最小值为________.
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【题目】定义一种对正整数n的“F”运算:①当n为奇数时,结果是3n+5;②n为偶数时,结果是(其中k是使
为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如取n=26,则有如图的结果,那么当n=2015,求第2015次“F”运算的结果是 .
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