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【题目】如图直角梯形ABCD中,∠BAD=∠CDA=90°,AB=,CD=2过A,B,D三点的O分别交BCCD于点E,M,且CE=2下列结论:①DM=CM;②弧AB=弧EM;③☉O的直径为2;④AE=.其中正确的结论是( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】

连接BDBMAMEMDE,利用三个角为直角的四边形为矩形得到ABMD为矩形,利用矩形的对边相等得到AB=DM进而可证明DM=CM,故选项正确;在RtDEC中,由MCD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到DMEM相等,从而AB=EM所以弧AB=EM,故选项正确;先证明四边形AMCB为平行四边形,可得出AM=BC,等量代换得到BC=BD,由BD为圆的直径,可得△DEC为直角三角形,利用勾股定理可求出DE的长,设BE=x,则BD=BC=BE+EC=x+2,在RtBDE中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出BC的长,即为BD的长,确定出圆的直径,即可对于选项作出判断;在RtAEM中,由AMME的长,利用勾股定理求出AE的长,即可对于选项作出判断.

连接BDBMAMEMDE

∵∠BAD=90°

BD为圆的直径,

∴∠BMD=90°

∴∠BAD=CDA=BMD=90°

∴四边形ABMD矩形,

AB=DM

又∵CD=2AB

CD=2DM,即DM=MC

故选项正确;

RtDEC中,MDC中点,

EM=DM=CD=

EM=DM

AB=DM

AB=DM

AB=EM

故选项正确;

ABMC,AB=MC

四边形ABCM是平行四边形,

AM=BC,又BD=AM

BD=BC

BD是直径,

∴∠BED=90°,即DEC=90°,

EC=2,DC=2

根据勾股定理得:DE==2

BE=xBD=BC=BE+EC=x+2,

Rt△BDE中,根据勾股定理得:BE2+DE2=BD2,即x2+20=(x+2)2

解得:x=4,

BD=6,故选项错误;

Rt△AEM中,AM=6,EM=

根据勾股定理得:AE==

故选项正确;

则正确的选项为:①②④.

故选B.

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A. B.

C. D.

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