【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(a,0)(a>0),点C是y轴上的一个动点,点C在y轴上移动时,始终保持△ACP是等边三角形,当点C移动到点O时,得到等边△AOB(此时点P与点B重合).
(1)点C在移动的过程中,当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图所示),求证:△AOC≌△ABP;
(2)若点P在第三象限,BP交x轴于点E,且∠ACO=20°,求∠PAE的度数和E点的坐标;
(3)若∠APB=30°,则点P的横坐标为 .
【答案】(1)见解析;(2)∠PAE=∠OAC﹣∠CAP=10°,E(﹣a,0);(3)﹣a或2a.
【解析】
(1) 先判断出∠OAC=∠BAP, 进而得出结论;
(2) 利用直角三角形的性质得出∠OAC, 进而得出∠PAE, 再利用全等三角形的性质得出∠APB,利用三角形的外角得出∠AEB=30, 即可得出结论;
(3) 分点C在y轴负半轴和正半轴上,判断出点P在x轴上, 即可得出结论.
(1)证明:∵△AOB和△ACP都是等边三角形,
∴OA=AB,AP=AC,∠OAB=∠CAP=60°
∴∠OAC=∠BAP,
在△AOC和△ABP中,,
∴△AOC≌△ABP(SAS),
(2)解:∵∠ACO=20°,
∴∠OAC=90°﹣20°=70°,
∵∠CAP=60°,
∴∠PAE=∠OAC﹣∠CAP=10°;
由(1)知,△AOC≌△ABP,
∴∠ABP=∠AOC=90°,∠ACO=∠APB=20°,
∴∠AEB=∠APB+∠PAE=20°+10°=30°,
∵A(a,0),
∴OA=a,
∴AB=OA=a,
在Rt△ABE中,AE=2AB=2a,
∴OE=AE﹣OA=a,
∴E(﹣a,0);
(3)
当点C在y轴负半轴上时,当∠APB=30°时,
由(1)知,△AOC≌△ABP,
∴∠ABP=∠AOC=90°,
∵∠OAB=60°,
∴∠AEB=30°=∠APB,
∴点P和点E重合,
即:点P在x轴上,
在Rt△ABE中,AB=a,
∴AP=2AB=2a,
∴OP=AP﹣OA=a,
∴P(﹣a,0);
当点C在y轴正半轴时,
如图(注:为了说明点P也在x轴上,作的图形,不标准)
∵∠AOB=60°,
∴∠APB=∠AOB,
∴点P在以点O为圆心,OA为半径的圆上,
∴OP=OA,
在△AOC和△POC中,,
∴△AOC≌△POC,
∴∠ACO=∠PCO,
∵∠ACP=60°,
∴∠ACO=∠PCO,
∴OC⊥AP,
∵OC⊥OA,∴点P在x轴上,
∴点P的横坐标为﹣a,
当点C在y轴半轴上时,∠APB=30°,如图1,(注:为了说明点B和F重合,作的图形,不标准)
由(1)知,△AOC≌△ABP(SAS),
∴∠ABP=∠OAC=90°,
∵在等边三角形ACP中,∠CAP=60°,
∵∠APB=30°,
∴∠AFP=90°,
∴点B和F重合,
∴AB=AC=
AP,
∵OA=AB,
∴OA=AP,
过点P作PH⊥OA于H,
∴∠PAH=60°,
∴AH=AP,
∴AH=OA,
∴AH=2OA,
∵A(a,0),
∴OA=a,
∴AH=2a,
∴点P的横坐标为2a,
故答案为:﹣a或2a.
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【题目】如图,O为直线AB上一点,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)请你数一数,图中有多少个小于平角的角;
(2)求出∠BOD的度数;
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为ts.
当t为何值时,四边形ABQP是矩形;
当t为何值时,四边形AQCP是菱形;
分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
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【题目】如图所示,直线AB交CD于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠BOE=4∶1,则∠AOF等于( )
A. 130°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
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【题目】用边长相等的下列两种正多边形,不能进行平面镶嵌的是( )
A. 等边三角形和正六边形 B. 正方形和正八边形
C. 正五边形和正十边形 D. 正六边形和正十二边形
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【题目】已知:∠MON=80°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O 重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.
(1)如图1,若AB∥ON,则:①∠ABO的度数是 ;
②如图2,当∠BAD=∠ABD时,试求x的值(要说明理由);
(2)如图3,若AB⊥OM,则是否存在这样的X的值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,直接写出x的值;若不存在,说明理由.(自己画图)
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【题目】在□ABCD中,O是AC、BD的交点,过点O 与AC垂直的直线交边AD于点E,若□ABCD的周长为22cm,则△CDE的周长为( ).
A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm
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