Question

【题目】已知直线．

（1）如图1，直接写出的数量关系为 ；

（2）如图2，与的角平分线所在的直线相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠E=∠END-∠BME；（2）∠E+2∠NPM=180°，证明见解析．

【解析】

（1）由AB∥CD，即可得到∠END=∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME；

（2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可得到∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，即可得到∠E+2∠NPM=180°．

解：（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，

∴∠E=∠EFB-∠BME=∠END-∠BME，

故答案为：∠E=∠END-∠BME；

（2）如图2，延长NP交AB于G，

∵AB∥CD，

∴∠CNP=∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，

∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，

∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，

∵AB∥CD，

∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，

∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，

∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠NGB）=180°，

∴∠E+2∠NPM=180°．