Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB＝10，AC是⊙O的弦．过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥DE，垂足为D，与⊙O交于点F，设∠DAC、∠CEA的度数分别为α，β，且0°＜α＜45°

（1）用含α的代数式表示β；

（2）连结OF交AC于点G，若AG＝CG，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）β＝90°﹣2α；（2）AC＝5

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，得到OC∥AD，根据平行线的性质、圆周角定理计算即可；

（2）证明△AGF≌△AGO，根据全等三角形的性质得到OG＝GF，根据勾股定理求出AG，根据垂径定理解答即可．

解：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，又AD⊥DE，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝α，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO＝α，

∴∠EOC＝2α，

∴β＝90°﹣2α；

（2）在△AGF和△AGO中，

，

∴△AGF≌△AGO（ASA）

∴OG＝GF，

∴OG＝OA＝，

由勾股定理得，AG＝，

∵OF⊥AC，

∴AC＝2AG＝．