Question

【题目】（定义学习）

定义:如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”

（判断尝试）

在①梯形;②矩形:③菱形中，是“对直四边形”的是哪一个. (填序号)

（操作探究）

在菱形ABCD中，于点E,请在边AD和CD上各找一点F,使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长，

（实践应用）

某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，若AB=3米，AD=1米，

.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形"板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.求分割后得到的等腰三角形的腰长，

Answer 1

【答案】【判断尝试】②；【操作探究】EF的长为2，EF的长为；【实践应用】方案1：两个等腰三角形的腰长都为米．理由见解析，方案2：两个等腰三角形的腰长都为2米．理由见解析，方案3：两个等腰三角形的腰长都为米，理由见解析．方案4：两个等腰三角形的腰长都为米，理由见解析．

【解析】

[判断尝试]根据“对直四边形”定义和①梯形;②矩形:③菱形的性质逐一分析即可解答.

[操作探究]由菱形性质和30°直角三角形性质即可求得EF的长.

[实践应用]先作出“对直四边形”，容易得到另两个等腰三角形，再利用等腰三角形性质和勾股定理即可求出腰长.

解： [判断尝试]

①梯形不可能一组对角为直角;③菱形中只有正方形的一组对角为直角，②矩形四个角都是直角，故矩形有一组对角为直角，为“对直四边形”，

故答案为② ，

[操作探究]

F在边AD上时，如图：

∴四边形AECF是矩形，

∴AE=CE，

又∵，

∴BE=1，AE=，CE=AF=1，

∴在Rt△AEF中，EF==2

EF的长为2.

F在边CD上时，AF⊥CD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2，∠B=∠D=60°，

又∵AE⊥BC，

∴∠BAE=∠BAF=30°，

∴AE=AF=，

∵∠BAD=120°，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF为等边三角形，

∴EF=AF=AE=

即：EF的长为；

故答案为2，.

[实践应用]

方案1：如图①，作，则四边形ABCD分为等腰、等腰、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为米．

理由：，∴四边形ABED为矩形，

∴3米，

∵，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DE=EC=3米，

∴DC=米，

∵，

∴=DC=米．

方案2：如图②，作，则四边形ABCD分为等腰△FEB、等腰△FEC、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为2米．

理由：作，由（1）可知3米，BG=AD=1米，

∴BC=1+3=4米，

∵，

∴△BEC为等腰直角三角形，

∵，

∴BC=2米．

方案3：如图③，作CD、BC的垂直平分线交于点E，连接ED、EB，则四边形ABCD分为等腰△CED、等腰△CEB、“对直四边形”ABED，其中两个等腰三角形的腰长都为米．

理由：连接CE，并延长交AB于点F，

∵CD、BC的垂直平分线交于点E，∴，∴，

∴

．

连接DB，

DB==，

∵ED=EB，

∴△BED为等腰直角三角形，

∴ED=米，

∴米．

方案4：如图④，作，交AB于点E，，

则四边形ABCD分为等腰△AFE、等腰△AFD、“对直四边形”BEDC，其中两个等腰三角形的腰长都为米．

理由：作，交AB于点E，可证∠ADE45°，

∵，

∴△ADE为等腰直角三角形，

∴DE =米，

作，

∴DE=米．