Question

【题目】定义正整数m，n的运算：m△n=++++…+

（1）计算3△2的值为 ；运算“△”满足交换规律吗？回答： （填“是”或“否”）

（2）探究：计算2△10=++++…+的值．

为解决上面的问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系的几何图形结合起来，最终解决问题．

如图所示，第一次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2此分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；依此类推，…

第10次分割，把二次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为﹣++…+，最后空白部分的面积是；根据第10次分割图可以得出计算结果：++++…+=1﹣．

进一步分析可得出，++++…+=

（3）已知n是正整数，计算4△n=+﹣+﹣…+的结果．

按指定方法解决问题：请仿照以上做法，只需画出第n次分割图并作标注，写出最终结果的推理步骤；或借用以上结论进行推理，写出必要的步骤．

Answer 1

【答案】（1）；否；（2）1﹣；（3）﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据新定义运算法则进行计算即可；

（2）根据计算2△10=++++…+的值的计算过程得到规律解题；

（3）根据探究的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可．

解：（1）3△2=+=．

而2△3=++=，

则3△2≠2△3，

所以运算“△”不满足交换规律．

故答案是：；否；

（2）如图所示，第一次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2此分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；依此类推，…

第10次分割，把二次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为﹣++…+，最后空白部分的面积是；

根据第10次分割图可以得出计算结果：++++…+=1﹣．

进一步分析可得出，++++…+=1﹣．

故答案是：1﹣．

（3）第1次分割，把正方形的面积四等分，

其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

…，

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，

所有阴影部分的面积之和为：+++…+，

最后的空白部分的面积是，

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，

两边同除以3，得+++…+=﹣．