Question

17．如图，分别以正方形ABCD的四条边为边，向其内部作等边三角形，得到△ABE、△BCF、△CDG、△DAH，连接EF、FG、GH、HE，若AB=2，则四边形EFGH的面积为8-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据题意得出△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，连接EG并延长交CD于点M，交AB于点N，连接FH并延长交AD于点k，角BC于点l，

解答 解：∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH均是以2为边长的等边三角形，
∴△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
∵四边形ABCD是正方形，DG=CG，AE=BE，
∴点E线段AB的垂直平分线上，点G在CD的垂直平分线上，AB∥CD，
∴直线MN是线段CD与AB的垂直平分线．
∵AB=CD=2，
∴EN=$\sqrt{3}$，
∴ME=2-$\sqrt{3}$，
同理可得GN=2-$\sqrt{3}$，
∴EG=2-（2-$\sqrt{3}$-2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2．
同理可得，FH=2$\sqrt{3}$-2．
∵M、L、N、K分别是四边的中点，
∴EG⊥FH，且OG=OH，
∴四边形EFGH是正方形，
∴OG=OH=$\frac{1}{2}$EG=$\sqrt{3}$-1，
∴S_{四边形EFGH}=GH²=OG²+OH²=（$\sqrt{3}$-1）²+（$\sqrt{3}$-1）²=8-4$\sqrt{3}$．
故答案为：8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知边长相等的等边三角形全等是解答此题的关键．