【题目】
【发现】
如图∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图①)
【思考】
如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?
请证明点D也不在⊙O内.
【应用】
利用【发现】和【思考】中的结论解决问题:若四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.
(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图④),求证:DF为Rt△ACD的外接圆的切线;
(2)如图⑤,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC,已知sin∠AED=,AD=1,求DG的长.
【答案】【思考】证明见试题解析;【应用】(1)证明见试题解析;(2).
【解析】
试题分析:【思考】假设点D在⊙O内,由圆周角定理及三角形外角的性质,可证得与条件相矛盾的结论,从而证得点D不在⊙O内;
【应用】(1)作出RT△ACD的外接圆,由发现可得点E在⊙O上,则∠ACD=∠FDA,又∠ACD+∠ADC=90°,有∠FDA+∠ADC=90°,即可得出DF是圆的切线;
(2)由【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上,证明四边形AOGD是矩形,由已知条件解直角三角形ACD可得AC的长,即DG的长.
试题解析:【思考】如图1,假设点D在⊙O内,延长AD交⊙O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB,∵∠ADE是△BDE的外角,∴∠ADB>∠AEB,∴∠ADB>∠ACB,因此,∠ADB>∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D也不在⊙O内,所以点D即不在⊙O内,也不在⊙O外,点D在⊙O上;
【应用】
(1)如图2,取CD的中点O,则点O是RT△ACD的外心,∵∠CAD=∠DEC=90°,∴点E在⊙O上,∴∠ACD=∠AED,∵∠FDA=∠AED,∴∠ACD=∠FDA,∵∠DAC=90°,∴∠ACD+∠ADC=90°,∴∠FDA+∠ADC=90°,∴OD⊥DF,∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线;
(2)∵∠BGE=∠BAC,∴点G在过C、A、E三点的圆上,如图3,又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆,即⊙O,∴点G在⊙O上,∵CD是直径,∴∠DGC=90°,∵AD∥BC,∴∠ADG=90°,∵∠DAC=90°,∴四边形ACGD是矩形,∴DG=AC,∵sin∠AED=,∠ACD=∠AED,∴sin∠ACD=,在RT△ACD中,AD=1,∴=,∴CD=,∴AC==,∴DG=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一粒木质中国象棋棋子“車”,它的正面雕刻一个“車”字,它的反面是平的,将棋子从一定高度下抛,落地反弹后可能是“車”字面朝上,也可能是“車”字朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“車”字朝上的机会,某实验小组做了棋子下抛实验,并把实验数据整理如下:
实验次数 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
“車”字朝上的频数 | 14 | 18 | 38 | 47 | 52 |
| 78 | 88 |
相应的频率 | 0.7 | 0.45 | 0.63 | 0.59 | 0.52 | 0.55 | 0.56 |
|
(1)请将表中数据补充完整,并画出折线统计图中剩余部分.
(2)如果实验继续进行下去,根据上表数据,这个实验的频率将接近于该事件发生的机会,请估计这个机会约是多少?
(3)在(2)的基础上,进一步估计:将该“車”字棋子,按照实验要求连续抛2次,则刚好使“車”字一次字面朝上,一次朝下的可能性为多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:
“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.
例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=20.
(1)已知点A(1,2),B(﹣3,1),P(0,t).
①若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标;
②直接写出A,B,P三点的“矩面积”的最小值.
(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),N(n, ),其中m>0,n>0.
①若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围;
②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动,如图,在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处,然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,那么大树CD的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)( )
A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,以DB为直径的⊙O经过AB的中点E,交AD的延长线于点F,连结EF.
(1)求证:∠1=∠F;
(2)若sinB=,EF=,求CD的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】股民老黄上星期五买进某股票1000股,每股35元,下表为本周内每日该股票的涨跌情况(单位:元)(注:用正数记股价比前一日上升数,用负数记股价比前一日下降数)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
每股涨跌 | +2.4 | -0.8 | -2.9 | +0.5 | +2.1 |
(1)星期四收盘时,每股是多少元?
(2)本周内最高价每股多少元?最低价每股多少元?
(3)根据交易规则,老黄买进股票时需付0.15%的手续费,卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税,如果老黄在星期五收盘前将全部股票卖出,他的收益情况如何?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷
C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人
D.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
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