Question

如图，在⊙O中AB⊥CD，OE⊥BC垂足为E，求证：OE=

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AD．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,圆周角定理

专题：证明题

分析：连接CO并延长交⊙O于F，连接BF、BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CBF=90°，然后判断出OE是△CBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE=

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BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠F，再根据等角的余角相等求出∠ABD=∠BCF，根据相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BF，从而得证．

解答：证明：如图，连接CO并延长交⊙O于F，连接BF、BD，
∵CF是直径，
∴∠CBF=90°，
∵OE⊥BC，
∴OE是△CBF的中位线，
∴OE=

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BF，
∵∠CBD与∠CFB所对的弧都是

BC

，
∴∠CDB=∠F，
∵AB⊥CD，
∴∠ABD+∠CDB=90°，
又∵∠BCF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠BCF，
∴AD=BF，
∴OE=

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AD．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，圆周角定理，等角的余角相等的性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形和以OE为中位线的三角形是解题的关键．