Question

【题目】如图，在矩形中，，点是的中点，点为对角线上的动点，设，作于点，连结并延长至点，使得，作点关于的对称点，交于点，连结．

（1）求证：；

（2）当点运动到对角线的中点时，求的周长；

（3）在点的运动的过程中，是否可以为等腰三角形？若可以，求出的值；若不可以，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）可以，的值为2或或

【解析】

（1）根据三角形中位线定理即可判定；

（2）证明△BCD∽△FGE，根据相似三角形对应边长的比等于对应周长的比，可得△EFG的周长；

（3）分EH=EG，EG=GH，EH=EG三种情况讨论，根据，列方程求解即可．

（1）证明：∵点与点关于对称，

∴，

∵，

∴是的中位线，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

当为的中点时，即，

∴，此时点与点重合，如图2，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴的周长，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

∴的周长为；

（3）解：在中，，，

∴，则，

∵是的中点，

∴，

在点的运动过程中，可以为等腰三角形，有以下三种情况：

①当时，如图3，

在中，，

∴，

∴，

∴，

由（1）知：，

∴，

在中，，

即，

解得；

②当时，如图4，过点作于点，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，，

即，

解得；

③当时，如图5，延长交于，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

在中，，

，

∴，

综上，的值为2或或时，为等腰三角形．