Question

【题目】类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

（1）尝试探究

如图（1），在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC边上一点，AE与BD交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F，若=2，则的值是 ；

（2）拓展迁移

如图（2），在矩形ABCD中，过点B作BH⊥AC于点O，交AD相于点H，点E是BC边上一点，AE与BH相交于点G，过点E作EF⊥AE交AC于点F.

①若∠BAE=∠ACB，sin∠EAF=，求tan∠ACB；

②若，=b（a＞0，b＞0），求的值（用含a，b的代数式表示）．

图（1） 图（2）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，由四边形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，∠ACB=∠DBC=45°，于是得到四边形OMEN是矩形，△BEM与△CEN是等腰直角三角形，求得，然后根据△EMG∽△ENF，即可得到结论；
（2）①过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，根据四边形ABCD是矩形，

②过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，得到四边形OMEN是矩形，由△MEG∽△NEF，得到 由于△ABC∽△CNE，求出由于△BEM∽△BCO，得到 求出EM=aCN，即可得到结论．

(1)过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD,∠ACB=∠DBC=45°，

∴四边形OMEN是矩形，△BEM与△CEN是等腰直角三角形，

∴

∵=2,∴,

∵EF⊥AE，

∴∠MEG=∠NEF，

∴△EMG∽△ENF，

∴

故答案为：；

(2) ①过E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，

sin∠EAF=

设 则

∠BAE=∠ACB，

同理可得：

点G是AE的中点，

容易证明≌

②过E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，

∵BH⊥AC，

∴四边形OMEN是矩形，

∴，∵AE⊥EF，

∴∠MEG=∠NEF，

∴△MEG∽△NEF,

∴

∵

∴△ABC∽△CNE，

∴

∴

∵EM⊥BH，AC⊥BH，

∴EM∥AC，

∴△BEM∽△BCO，

∴

∵

∴

∴

∵ON=EM，

∴

∴EM=aCN，

∴

故答案为：