Question

如图所示，⊙O的半径为R，弦AB，CD相互垂直，连接AD，BC．
（1）求证：AD²+BC²=4R²；
（2）若AD，BC的长是方程x²-6x+5=0的两个根，求⊙O的半径及点O到AD的距离．

Answer 1

考点：圆周角定理,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理

专题：

分析：（1）如图，作⊙O的直径BE，连接AE、CE．利用勾股定理和直角三角形外接圆半径证得结论；
（2）通过解方程求得AD、BC的值；然后将其代入（1）中的等式来求圆的半径；过点O作OF⊥AD于F，由垂径定理和勾股定理进行解答．

解答：（1）证明：如图，作⊙O的直径BE，连接AE、CE．
∵DE是直径，
∴EC⊥CD．
又∵AB⊥CD，
∴AB∥EC，
∴

AE

=

BC

=CB，
∴AE=CB．
由DE是直径得到：∠EAD=∠ECD=90°．
∵由勾股定理，得AD²=DE²-AE²，
∴AD²+BC²=DE²-AE²+AE²=4R²；

（2）由x²-6x+5=0，得
（x-1）（x-5）=0，
解得 x₁=1，x₂=5，
∵AD，BC的长是方程x²-6x+5=0的两个根，
∴AD=5，BC=1．
又由（1）知，AD²+BC²=4R²
∴25+1=4R²
则R=

26

2

．
如图，过点O作OF⊥AD于F，则FD=

1

2

AD=

5

2

．
在直角△OFD中，OD=

26

2

，FD=

5

2

．则由勾股定理知OF=

DO2-FD2

=

13 2 - 25 4

=

1

2

．
综上所述，⊙O的半径是

26

2

，点O到AD的距离是

1

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，因式分解法解一元二次方程以及勾股定理．根据题意作出辅助线是解题的难点．