Question

【题目】如图，中，，以的中点为圆心，以的长为直径的交于点，交于点，过点作的切线，交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

①若，，则的面积为____；

②当的度数为____时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②30°

【解析】

（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠B=∠BDO，证出OD∥AC，由已知条件得出∠C+∠CDF=90°，即可得出结论；

（2）解：①由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC由等腰三角形三线合一可得：BC=CD=，可证△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得：,代入数据可得：故可得△BEC的面积，证得：△CBE∽△CDF，故，即可得出答案;

②证出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，故∠CDF的度数，即可得出答案．

（1）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，

∴∠B=∠C，∠B=∠BDO，

∴∠C=∠BDO，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，

∴∠ODF=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠C+∠CDF=90°，

∴∠CFD=90°，

∴DF⊥AC；

（2）解：①∵连接AC，BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∴AD⊥BC

∵AB=AD=4，

∴BC=CD=，

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°

∴∠ABE=90°-∠BAE=45°=∠BAE,

∴BE=AE

根据勾股定理可得,

即

∴

∴

∴

∴

∵DF⊥AC

∴∠DFE=∠DFC=90°

∵∠AEB=90°

∴∠AEB=∠DFE

∴BE∥DF，

∴△CBE∽△CDF

∴

∴

故答案为：

②当四边形OECD是菱形时，OE∥DC

∴∠OEA=∠ACB

∵AB=AC，OA=OE

∴∠ABC=∠ACB，∠OAE=∠OEA

∴∠OAE=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等边三角形

∴∠ACB=60°

∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-60°=30°

∴当∠CDF得度数为30°，四边形OECD是菱形

故答案为30°