Question

已知二次函数y=x²-x+m．
（1）写出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）试判断：当m取何值时，这个函数的图象的顶点在x轴的上方；
（3）若这个函数的图象过原点，求出它的函数关系式；并判断自变量x取何值时，y随x增大而增大？

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标；
（2）由函数的图象在x轴的上方问题转化成-

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4

+m＞0，解这个不等式即可得m的取值范围．
（3）由已知可得解析式为y=x²-x，得出对称轴为x=

1

2

，因为a=1＞0，即可求得y随x增大而增大时的x的取值；

解答：解：（1）二次函数y=x²-x+m=（x-

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）²-

1

4

+m
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
对称轴为x=

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2

，
顶点坐标为（

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，-

1

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+m）．
（2）由已知，即-

1

4

+m＞0，
解得m＞

1

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，
（3）∵二次函数y=x²-x+m过原点，
∴m=0，
∴函数的解析式为y=x²-x，
，∵y=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，
∴对称轴x=

1

2

，
∵a=1＞0
∴当x＞

1

2

时y随x增大而增大．

点评：本题考查了用配方法把二次函数解析式转化成顶点式，二次函数不等式成立问题的解法，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解决本题的关键；