Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=kBC，直线l经过点A，过点C、B分别向直线l作垂线，垂足分别为E、F，CE交AB于点M．

（1）如图1，若k=1，求证：AE+BF=CE；
（2）如图2，若k=2，则AE、BF、CE之间的数量关系是

 

；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，过点A作AG∥CF，交CE延长线于点G，若CF=3

5

，BF=5，求MG的长．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）过点C作CH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图1，易证四边形CEFH是矩形，从而有CE=HF，∠HCE=90°，进而证到△BHC≌△AEC，则有BH=AE，就可证到AE+BF=CE．
（2）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图2，易证四边形CEFP是矩形，则有CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°，进而可证到△AEC∽△BPC，根据相似三角形的性质可得AE=2BP，EC=2PC，进而可证到CE=

1

2

AE+BF．
（3）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图3．利用（2）中的结论可证到PF=CE=2PC，在Rt△CPF中运用勾股定理可求出PC长，进而可求出EF、CE、PF、BP、AE的长．然后可通过证明△AEG∽△FEC求出EG的长，再通过证明△AEM∽△AFB求出ME的长，就可求出MG的长．

解答：（1）证明：过点C作CH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图1．
∵CH⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，
∴∠CHF=∠HFE=∠FEC=90°．
∴四边形CEFH是矩形．
∴CE=HF，∠HCE=90°．
∵∠HCE=∠ACB=90°，
∴∠HCB=∠ECA．
在△BHC和△AEC中，

∠BHC=∠AEC ∠HCB=∠ECA BC=AC

．
∴△BHC≌△AEC（AAS）．
∴BH=AE，
∴AE+BF=BH+BF=HF=CE．

（2）证明：过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图2．
∵CP⊥BF，BF⊥EF，CE⊥EF，
∴∠CPF=∠PFE=∠FEC=90°．
∴四边形CEFP是矩形．
∴CP=EF，CE=PF，∠PCE=90°．
∵∠ACB=∠PCE=90°，
∴∠ECA=∠PCB．
∵∠AEC=∠BPC=90°，
∴△AEC∽△BPC．
∴

AE

BP

=

EC

PC

=

AC

BC

=2．
∴AE=2BP，EC=2PC．
∴CE=PF=PB+BF=

1

2

AE+BF．
故答案为：CE=

1

2

AE+BF．

（3）过点C作CP⊥BF，交FB的延长线于点P，如图3．
由（2）得：CP=EF，CE=PF，AE=2BP，EC=2PC．
∴PF=CE=2PC．
在Rt△CPF中，
∵∠CPF=90°，
∴PC²+PF²=CF²．
∴PC²+（2PC）²=（3

5

^）2．
解得：PC=3．
∴EF=PC=3，PF=CE=2PC=6，
BP=PF-BF=6-5=1，AE=2BP=2．
∵CF∥AG，
∴△AEG∽△FEC．
∴

EG

EC

=

AE

FE

．
∴

EG

6

=

2

3

．
∴EG=4．
∵∠AEC=90°=∠AFB，
∴EM∥BF．
∴△AEM∽△AFB．
∴

ME

BF

=

AE

AF

．
∴

ME

5

=

2

2+3

．
∴ME=2．
∴MG=GE+ME=6．
∴MG的长为6．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，而利用条件AC=kBC构造相似三角形（包含全等三角形）是解决本题的关键．