Question

【题目】如图，在中，，以为直径的⊙分别交于点，点在的延长线上，且．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若⊙的直径为3，，求和的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

(1)连接，由直径所对的圆周角是直角可得，进而得，根据等腰三角形的性质可得，结合已知可得，继而可得，再根据切线的判定定理即可得；

(2)过点C作CH⊥BF于H，由，，可得，可求得，继而可得，从而求得CH=2，证明△FCH∽△FAB，根据相似三角形的对应边成比例可得，可求出CF的长，进行得AF长，再利用勾股定理求出BF的长即可.

(1)连接，

∵是⊙的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

即，

∵是⊙的直径，

∴直线是⊙的切线；

(2)过点C作CH⊥BF于H，

∵，，

∴，

∵在中，，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴△FCH∽△FAB，

∴，即，

∴，

∴，

∴．