【题目】已知如图,抛物线与
轴交于点A和点C(2,0),与
轴交于点D,将△DOC绕点O逆时针旋转90°后,点D恰好与点A重合,点C与点B重合.
(1)直接写出点A和点B的坐标;
(2)求和
的值;
(3)已知点E是该抛物线的顶点,求证:AB⊥EB.
【答案】(1)A(-6,0)、B(0,2);(2),
;(3)E(-2,8) .
【解析】
试题
(1)由题意易得点D的坐标为(0,6),结合AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的,即可得到OA=6,OB=OC=2,由此即可得到点A和点B的坐标;
(2)将点A和点C的坐标代入列出关于
的二元一次方程组,解方程组即可求得
的值;
(3)由(2)中所得的值可得二次函数的解析式,把解析式配方即可求得点E的坐标,结合点A和点B的坐标即可求得AE2、AB2、BE2的值,这样由勾股定理的逆定理即可得到∠ABE=90°,从而可得AB⊥BE.
试题解析:
(1)∵在中,当
时,
,
∴点D的坐标为(0,6),
∵△AOB是由△DOC绕点O逆时针旋转90°得到的,
∴OA=OD=6,OB=OC=2,
∴点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(0,2);
(2)∵点A(-6,0)和点C(2,0)在的图象上,
∴ ,解得:
;
(3)如图,连接AE,
由(2)可知,
∴,
∴点E的坐标为(-2,8),
∵点A(-6,0),点B(0,2),
∴AE2=,AB2=
,BE2=
,
∴AE2=AB2+BE2,
∴∠ABE=90°,
∴AB⊥EB.
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【题目】已知,在中,
,点
为边
上一动点,
且
,连接
,其中
.
问题发现:(1)如图1,若,
与
有怎样的数量关系?
的值为多少?直接写出答案;
类比探究,(2)如图2,若,点
在
的延长线上,
与
有怎样的数量关系?
的值为多少?请说明理由.
拓展应用:(3)如图3,在中,
,
,
为
上一点,以
为边,在如图所示位置作正方形
,点
为正方形
的对称中心,且
,请直接写出
的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=
,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接AO,求△AOB的面积.
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【题目】小方与小辉在玩军棋游戏,他们定义了一种新的规则,用军棋中的“工兵”、“连长”、“地雷”比较大小,共有6个棋子,分别为1个“工兵”,2个“连长”,3个“地雷”游戏规则如下:①游戏时,将棋反面朝上,两人随机各摸一个棋子进行比赛,先摸者摸出的棋不放回;②“工兵”胜“地雷”,“地雷”胜“连长”,“连长”胜“工兵”;③相同棋子不分胜负.
(1)若小方先摸,则小方摸到“排长”的事件是 ;若小方先摸到了“连长”,小辉在剩余的5个棋子中随机摸一个,则这一轮中小方胜小辉的概率为 .
(2)如果先拿走一个“连长”,在剩余的5个棋子中小方先摸一个棋子,然后小辉在剩余的4个棋子中随机摸一个,求这一轮中小方获胜的概率 .
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【题目】为了解九年级学生的体能状况,从我校九年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,请根据两幅图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了 名学生,补全条形统计图;
(2)B等级人数对应扇形统计图的圆心角的大小为 ;
(3)我校九年级共有2100名学生,请你估计九年级学生中体能测试结果为C等级的学生有多少人?
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【题目】如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD∥AB,连接AC、AD、OD,其中AC=CD,过点B的切线交CD的延长线于E.
(1)求证:DA平分∠CDO;
(2)若AB=12,求图中阴影部分的周长之和(参考数据:π=3.1,=1.4,
=1.7).
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【题目】如图,⊙O的直径AB=26,P是AB上(不与点A、B重合)的任一点,点C、D为⊙O上的两点,若∠APD=∠BPC,则称∠CPD为直径AB的“回旋角”.
(1)若∠BPC=∠DPC=60°,则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗?并说明理由;
(2)若的长为
π,求“回旋角”∠CPD的度数;
(3)若直径AB的“回旋角”为120°,且△PCD的周长为24+13,直接写出AP的长.
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【题目】如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)直线AB上是否存在点C,使△BOC的面积为2?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是反比例函数的图象,点
,
分别在图象的两支上,以
为对角线作矩形
且
轴.
(1)当线段过原点时,分别写出
与
,
与
的一个等量关系式;
(2)当、
两点在直线
上时,求矩形
的周长;
(3)当时,探究
与
的数量关系.
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