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【题目】如图①,已知点DAB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE90°,且MEC的中点.

1)连接DM并延长交BCN,求证:CNAD

2)求证:△BMD为等腰直角三角形;

3)将△ADE绕点A逆时针旋转90°时(如图②所示位置),其它条件不变,△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3)仍成立,见解析;

【解析】

1)由∠ABC=ADE=90°可得DEBC,再根据平行线的性质,推出∠DEM=MCB,根据ASA推出EMD≌△CMN,证出CN=ED,因为AD=DE,即可得到CN=AD
2)由(1)可知CN=ADDM=MN,再由AB=AC,可得BD=BN,从而可得DBN是等腰直角三角形,且BM是底边DN上的中线,再利用等腰三角形的三线合一的性质和直角三角形的性质即可得到BMD为等腰直角三角形;
3)作CNDEDM的延长线于N,连接BN,根据平行线的性质求出∠E=NCM,根据ASADBA≌△NBC,推出DBN是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质即可推出BMD为等腰直角三角形.

1)证明:如图①,


∵∠EDA=ABC=90°
DEBC
∴∠DEM=MCB
EMDCMN中,

∴△EMD≌△CMNASA),
CN=DE
AD=DE
CN=AD
2)证明:由(1)得CN=ADEMD≌△CMN
DM=MN
BA=BCCN=AD
BD=BN
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
BMDMBM=DN=DM
∴△BMD为等腰直角三角形;
3)答:BMD为等腰直角三角形的结论仍成立,
证明:如图②,作CNDEDM的延长线于N,连接BN


∴∠E=MCN=45°
∵∠DME=NMCEM=CM
∴△EMD≌△CMNASA),
CN=DE=DAMN=MD
又∵∠DAB=180°-DAE-BAC=90°
BCN=BCM+NCM=45°+45°=90°
∴∠DAB=NCB
在△DBA和△NBC中,

∴△DBA≌△NBCSAS),
∴∠DBA=NBCDB=BN
∴∠DBN=ABC=90°
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
BMDM,∠DBM=DBN=45°=BDM
MB=MD

∴△BMD为等腰直角三角形.

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