Question

【题目】(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF=EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．

（2）方法迁移：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）EF= DE+BF；证明见解析；（3）EF＝BE-FD

【解析】

(1)根据题意设，然后根据勾股定理得出x值进而求出的长即可；

(2) 延长FB到G，使，连接AG，去根据已知条件证明，然后通过对应边的转化得出答案即可；

(3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出，那么．

解：(1)在正方形ABCD中，,

,

在中，,

,

解得x=3，

（2）

证明如下：

如图，延长FB到G，使，连接AG，

，

在中，

∵

在中，

，

，

(3)结论：，

证明：如图所示，在BE上截取BG，使，连接AG．



∵在中，
,
．

,

,

.