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【题目】我们规定:有一组邻边相等,且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做准筝形。如图1,四边形ABCD,AB=AD,A=,则四边形ABCD准筝形

(1)如图2,CHABC的高线,A=,ABC=AB=2.CH

(2) 如图3,四边形ABCD,BC=2,CD=4,AC=6,BCD=,且AD=BD,试判断四边形ABCD是不是准筝形,并说明理由。

小红是这样思考的:延长BC至点E,使CE=CD=4,连结DE,则DCE是等边三角形,再说明ACDBED就可以了。请根据小红的思考完成本小题。

(3) (1)条件下,设DABC所在平面内一点,当四边形ABCD准筝形时,请直接写出四边形ABCD的面积;

【答案】12)四边形ABCD准筝形,理由见解析;(3

【解析】

1)设BH=x,根据∠ABC=表示出CH,在根据∠A=列出方程求解即可;(2)延长BC至点E,使CE=CD=4,连结DE,则△DCE是等边三角形,再证明△ACD≌△BED得到△ABD是等边三角形,即可证明四边形ABCD准筝形;(3)在(1)条件下,D△ABC所在平面内一点,当四边形ABCD准筝形时,分情况讨论①AB=AD=2∠BAD=60°②BC=BD=2+2,∠BCD=60°③AD=CD=AC=HC=3+∠ADC=60°,分别求出四边形ABCD的面积即可.

(1)BH=x

∵∠ABC=120°CH△ABC的高线,

∴∠BCH=30°

HC=

∵∠A=45°

HA=HC

AB=2

=2+x

解得:x=+1

HC==3+

(2)四边形ABCD准筝形

理由:如图所示,延长BC至点E,使CE=CD=4,连结DE

∵∠BCD=120°

∴∠DCE=60°

∴△DCE是等边三角形,

ED=CD=4∠CDE=60°

BC=2CE=CD=4AC=6

AC=EB

△ACD△BED中,

∴△ACD≌△BED(SSS)

∴∠ADC=BDE

∴∠ADB=CDE=60°

∴△ABD是等边三角形,

AB=AD,∠BAD=60°

∴四边形ABCD准筝形

(3(1)条件下,DABC所在平面内一点,当四边形ABCD准筝形时,分情况讨论,分别求出四边形ABCD的面积:

①如下图AB=AD=2,∠BAD=60°

CG垂直BD的延长线于点G,则BD=2

易得:∠CBG=60°=CBH

△CBG△CBH

∴△CBG≌△CBH(AAS)

GC=HC=3+

AKBDK,则易得:AK=

∴SABD=×2×=SCBD=×2×(3+)=3+

∴四边形ABCD的面积=3+2

②如下图BC=BD=2+2,BCD=60°

CG垂直BD的延长线于点G,则BD=2+2

易得:CG=3+AK=

∴SBCD=×(3+)(2+2)=4+6

SABD=××(2+2)=3+

∴四边形ABCD的面积=9+5

③如下图AD=CD=AC=HC=3+,∠ADC=60°,

DMACM

易得:DM= (3+)= (+)

∴SABC=×2×(3+)=3+

SADC=×(3+ (+)=6+9

∴四边形ABCD的面积=12+7

综上所述,四边形ABCD的面积为

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