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【题目】若直线l : y kx b k 0 与曲线有 n 个交点,则称直线l 为曲线的n 阶共生直线,交点称为它们的共生点”.

1)若直线 y kx b k 0与某曲线的一个共生点 P m, 2m 1,试判断此共生点不可能位于第几象限,请说明理由.

2)若直线 l : y kx 2k k 0 x y 轴分别交于 A B 两点,且直线 l 为反比例函数y=“ 2阶共生直线,且共生点CD,求k的取值范围,试证明此时不论 k 取何值,总有 AC BD 成立.

3)若直线l : y kx 2k k 0 x 轴交于点 A ,且直线l 为抛物线 y x2 2x 1“2 阶共生直线,且共生点 P Q xP xQ ,若 AQ 3AP ,求 k 的值.

【答案】1)不经过第四象限,(2,证明见解析;(3

【解析】

1)直线y=2x+1不经过第四象限,故得答案;

2)过点CCE OA ,过点DDFOA,DHOB,列方程组整理得一个一元二次方程,由交点数可知方程有两个不相等的实数根,故= 可求得K的取值范围,然后求得A(2,0),设,解得,故AE=OF=DH,证得ACE≌△DHB,得出AC=BD,所以此时不论 k 取何值,总有 AC BD 成立;

3)作出图形,则有,列出方程解得,又因为,所以,求解可得k.

解:(1)∵Pm,2m+1)在直线y=2x+1上,它不经过第四象限,

P不可能位于第四象限.

2)如图,过点CCE OA ,过点DDFOA,DHOB

由题意列方程组,整理得

因为有2个交点,故方程有两个不相等的实数根,

=

解得

y=0,x=2,所以A(2,0)

AE=OF=DH

又∵AC,BD在同一直线上,易得ACE≌△DHB

AC=BD

∴此时不论 k 取何值,总有 AC BD 成立.

3)如图

又∵

(负值舍去)

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________________________________________________________________________________

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