【题目】如图,抛物线y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点H,交直线BC于点E.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)连接CP,当CP平分∠OCB时,求点P的坐标;
(3)平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)点C的坐标为(0,﹣5);(2)当CP平分∠OCB时,点P的坐标为(5,42);(3)存在点Q,使以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣1,0),(5,52),(5,﹣4)或(5,﹣2﹣5).
【解析】
(1)令y=0,求出x的值,即可得A、B两点坐标,令x=0,求出y的值,即可得C得坐标;(2)由PE⊥x轴可得PE//OC,即可证明∠OCP=∠CPE,由CP平分∠OCB即可证明∠PCE=∠CPE,可得PE=CE,根据B、C坐标可得OB=OC、直线BC的解析式,设P(x,﹣x2+6x﹣5),可得点E的坐标为(x,x﹣5),根据OB=OC可得CE=x,根据PE=CE列方程求出x的值即可得答案;(3)设P(x,﹣x2+6x﹣5),则E(x,x﹣5),当BQ为对角线时,根据菱形的性质可得BQ⊥PE,由PE⊥x轴可得点Q在x轴上,可得PH=EH,可求出H点坐标,根据BH=QH即可得Q点坐标;当点P在x轴上方时,PE=EB=BQ=QP,分别用x表示出PE、BE的长,列方程求出x的值即可;当点P与点A重合时,根据PE=AB,可得E点坐标,由PB=PE=EQ=QB,∠EAB=90°,即可得Q点坐标;当点P在x轴下方时,PE=EB=BQ=QP,分别用x表示出PE、BE的长,列方程求出x的值即可;综上即可得答案.
(1)抛物线y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于A,B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C
令y=0时,得﹣x2+6x﹣5=0,解得x1=1,x2=5,
∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(5,0)
令x=0时,y=﹣5,
∴点C的坐标为(0,﹣5)
(2)当CP平分∠OCB时,∠OCP=∠ECP,
∵PE⊥x轴,
∴PE//OC,
∴∠OCP=∠CPE,
∴∠PCE=∠CPE,
∴PE=EC.
由题意可得直线BC的解析式为y=x﹣5
设点P的坐标为(x,﹣x2+6x﹣5),则点E的坐标为(x,x﹣5),
∴PE=﹣x2+6x﹣5﹣(x﹣5)=﹣x2+5x.
∵B(5,0),C(0,-5),
∴OB=OC=5,
∴CE=OH,
∴CE=x,
∴﹣x2+5x=x,
解得x1=0(不合题意),x2=5,
当x=5时,﹣x2+6x﹣5=42.
∴当CP平分∠OCB时,点P的坐标为(5,42);
(3)存在点Q,使以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣1,0),(5,52),(5,﹣4)或(5,﹣2﹣5)
理由如下:
设点P的坐标为(x,﹣x2+6x﹣5),则点E的坐标为(x,x﹣5),
如图1,当BQ为对角线时:
∵PQEB是菱形,
∴PE⊥QB,PH=HE,QH=HB,
∴点Q在x轴上,
此时yP=﹣yE,即﹣x2+6x﹣5=﹣(x﹣5),
解得x1=2,x2=5(不合题意,舍去),
∴H(2,0),
∴QH=HB=3,
∴点Q的坐标为(﹣1,0).
如图2,当点P在x轴上方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形.
∵PE=﹣x2+6x﹣5﹣(x﹣5)=﹣x2+5x,BE=BH(5﹣x),
∴﹣x2+5x(5﹣x),
解得x1=5(不合题意,舍去),x2.
当x时,BQ=PE=52,
∴点Q的坐标为(5,52).
如图3,当点P与点A重合时,PB=PE.
∴E点坐标为(1,-4),
∵PB=PE=EQ=QB,∠EAB=90°,
∴Q的坐标为(5,﹣4).
如图4,当点P在x轴下方,且PE=EB=BQ=QP时,四边形PEBQ为菱形.
∵PE=x﹣5﹣(﹣x2+6x﹣5)=x2﹣5x,
BEBH(5﹣x),
∴x2﹣5x(5﹣x),
解得x1=5(不合题意,舍去),x2.
当x时,QB=PE=2+5,
∴点Q的坐标为(5,﹣2﹣5).
综上所述,存在点Q,使以点P,E,B,Q为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣1,0),(5,52),(5,﹣4)或(5,﹣2﹣5).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D,E为AC的中点,连接DE
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)已知BC=4.填空.
①当DE= 时,四边形DOCE为正方形;
②当DE= 时,△BOD为等边三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】 如图,已知在中,,,延长到,使,以为圆心,长为半径作⊙交延长线于点,连接.
(1)求证:是⊙的切线;
(2)若AB=2,求图中阴影部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在ABCD中,∠B=60°,AB=6,BC=12.点E是BC上一动点,将△ABE沿直线AE折叠,得到△AFE,则当AF与ABCD的边垂直时,BE的长为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.
(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上,那么米粒落在阴影部分的概率是多少?
(2)现将方格内空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取2个涂黑,得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线的对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点.
(1)直接写出抛物线的解折式和点的坐标;
(2)如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值?如果有,请求出最小值;
(3)以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 (),直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点.
①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由
②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,以为直角边作,并使,再以为直角边作,并使,再以为直角边作,并使…按此规律进行下去,则点的坐标为_______.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com