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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+6x5x轴交于AB两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.点P是抛物线上一个动点,过点Px轴的垂线,垂足为点H,交直线BC于点E

1)求点ABC的坐标;

2)连接CP,当CP平分∠OCB时,求点P的坐标;

3)平面直角坐标系内是否存在点Q,使得以点PEBQ为顶点的四边形为菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)点C的坐标为(0,﹣5);(2)当CP平分∠OCB时,点P的坐标为(542);(3)存在点Q,使以点PEBQ为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣10),(552),(5,﹣4)或(5,﹣25).

【解析】

1)令y=0,求出x的值,即可得AB两点坐标,令x=0,求出y的值,即可得C得坐标;(2)由PEx轴可得PE//OC,即可证明∠OCP=∠CPE,由CP平分∠OCB即可证明∠PCE=∠CPE,可得PE=CE,根据BC坐标可得OB=OC、直线BC的解析式,设Px,﹣x2+6x5),可得点E的坐标为(xx5),根据OB=OC可得CE=x,根据PE=CE列方程求出x的值即可得答案;(3)设Px,﹣x2+6x5),则Exx5),当BQ为对角线时,根据菱形的性质可得BQPE,由PEx轴可得点Qx轴上,可得PH=EH,可求出H点坐标,根据BH=QH即可得Q点坐标;当点Px轴上方时,PEEBBQQP,分别用x表示出PEBE的长,列方程求出x的值即可;当点P与点A重合时,根据PE=AB,可得E点坐标,由PBPEEQQB,∠EAB=90°,即可得Q点坐标;当点Px轴下方时,PEEBBQQP,分别用x表示出PEBE的长,列方程求出x的值即可;综上即可得答案.

1)抛物线y=﹣x2+6x5x轴交于AB两点(点A在点B左边),与y轴交于点C

y0时,得﹣x2+6x50,解得x11x25

∴点A的坐标为(10),点B的坐标为(50

x0时,y=﹣5

∴点C的坐标为(0,﹣5

2)当CP平分∠OCB时,∠OCP=∠ECP

PEx轴,

PE//OC

∴∠OCP=∠CPE

∴∠PCE=∠CPE

PEEC

由题意可得直线BC的解析式为yx5

设点P的坐标为(x,﹣x2+6x5),则点E的坐标为(xx5),

PE=﹣x2+6x5﹣(x5)=﹣x2+5x

B50),C0-5),

OBOC=5

CE=OH

CE=x

∴﹣x2+5x=x

解得x10(不合题意),x25

x5时,﹣x2+6x542

∴当CP平分∠OCB时,点P的坐标为(542);

3)存在点Q,使以点PEBQ为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣10),(552),(5,﹣4)或(5,﹣25

理由如下:

设点P的坐标为(x,﹣x2+6x5),则点E的坐标为(xx5),

如图1,当BQ为对角线时:

PQEB是菱形,

PEQBPHHEQHHB

∴点Qx轴上,

此时yP=﹣yE,即﹣x2+6x5=﹣(x5),

解得x12x25(不合题意,舍去),

H20),

QHHB3

∴点Q的坐标为(﹣10).

如图2,当点Px轴上方,且PEEBBQQP时,四边形PEBQ为菱形.

PE=﹣x2+6x5﹣(x5)=﹣x2+5xBE=BH5x),

∴﹣x2+5x5x),

解得x15(不合题意,舍去),x2

x时,BQPE52

∴点Q的坐标为(552).

如图3,当点P与点A重合时,PBPE

E点坐标为(1-4),

PBPEEQQB,∠EAB=90°

Q的坐标为(5,﹣4).

如图4,当点Px轴下方,且PEEBBQQP时,四边形PEBQ为菱形.

PEx5﹣(﹣x2+6x5)=x25x

BEBH5x),

x25x5x),

解得x15(不合题意,舍去),x2

x时,QBPE2+5

∴点Q的坐标为(5,﹣25).

综上所述,存在点Q,使以点PEBQ为顶点的四边形为菱形.此时点Q的坐标为(﹣10),(552),(5,﹣4)或(5,﹣25).

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