【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)CF=4.
【解析】
(1)连接OC,根据平行线的性质得到∠1=∠ACB,由圆周角定理得到∠1=∠ACB=90°,根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,求得∠DBE=∠DCE,根据切线的性质得到∠DBO=90°,求得OC⊥DC,于是得到结论;(2)证明△AOC是等边三角形,解Rt△COF即可得到结论;
解:
(1)证明:如图,连接OC,
,
∵OE∥AC,
∴∠1=∠ACB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠1=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,由垂径定理得OD垂直平分BC,
∴DB=DC,
∴∠DBE=∠DCE,
又∵OC=OB,
∴∠OBE=∠OCE,
即∠DBO=∠OCD,
∵DB为⊙O的切线,OB是半径,
∴∠DBO=90°,
∴∠OCD=∠DBO=90°,
即OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴∠3=60°,又OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠COF=60°,
在Rt△COF中,tan∠COF=,
∴CF=;
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【题目】如图1,有一张矩形纸片ABCD,已知AB=10,AD=12,现将纸片进行如下操作:现将纸片沿折痕BF进行折叠,使点A落在BC边上的点E处,点F在AD上(如图2);然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠,使点C落在第一次的折痕BF上的点G处,点H在BC上(如图3),给出四个结论:
①AF的长为10;②△BGH的周长为18;③=;④GH的长为5,
其中正确的结论有________.(写出所有正确结论的番号)
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【题目】解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得_________________;
(2)解不等式②,得_________________;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为_________________.
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【题目】如图,已知,为线段上的一个动点,分别以,为边在的同侧作菱形和菱形,点,,在一条直线上,.,分别是对角线,的中点.当点在线段上移动时,点,之间的距离最短为( )
A.B.C.4D.3
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【题目】如图1所示是小明设计的带菱形图案的花边作品,该作品由形如图2所示的矩形图案拼接而成(不重叠,无缝隙),小明发现图(2)具有对称之美,它既是轴对称图形,也是中心对称图形,并对这个图形进行探究.
(1)如图3,若知图案的一部分,请你根据如图2将图3的图案补充完整(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图4,,,上、下两个阴影部分的面积之和为,其内部菱形由两组距离相等的平行线两两相交得到,求该菱形的周长;
(3)小明认为:图4中的4个空白部分在一定条件下能拼成一个正方形(不重叠,无缝隙),请你帮助小明写出应满足的条件(提示:求出与的长度之比,并指出点、的位置).
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【题目】某校积极开展“阳光体育”活动,并开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目,为了解学生最喜爱哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出).
(1)求本次被调查的学生人数;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“篮球”部分所对应的圆心角度数为__ ;
(4)该校共有3000名学生,请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少?
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【题目】某个体户购进一批时令水果,20天销售完毕,他将本次销售情况进行了跟踪记录,根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象,其中日销售量y(千克)与销售时间x(天)之间的函数关系如图所示,则下列说法不正确的是( )
A.第10天销售20千克B.一天最多销售30千克
C.第9天与第16天的日销售量相同D.第19天比第1天多销售4千克
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【题目】如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程
方程中的和表示的意义,下列说法错误的是( )
A.表示甲队每天修路的长度B.表示乙队每天修路的长度
C.表示甲队修米所用的时间D.表示乙队修米所用的时间
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【题目】“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是( ).
A. B.
C. D.
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