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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,ACBC是⊙O的弦,OEACBCE,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F

1)求证:DC是⊙O的切线;

2)若∠ABC30°AB8,求线段CF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)CF4

【解析】

1)连接OC,根据平行线的性质得到∠1=∠ACB,由圆周角定理得到∠1=∠ACB90°,根据线段垂直平分线的性质得到DBDC,求得∠DBE=∠DCE,根据切线的性质得到∠DBO90°,求得OCDC,于是得到结论;(2)证明△AOC是等边三角形,解RtCOF即可得到结论;

解:

1)证明:如图,连接OC

OEAC

∴∠1=∠ACB

AB是⊙O的直径,

∴∠1=∠ACB90°

ODBC,由垂径定理得OD垂直平分BC

DBDC

∴∠DBE=∠DCE

又∵OCOB

∴∠OBE=∠OCE

即∠DBO=∠OCD

DB为⊙O的切线,OB是半径,

∴∠DBO90°

∴∠OCD=∠DBO90°

OCDC

OC是⊙O的半径,

DC是⊙O的切线;

2)解:在RtABC中,∠ABC30°

∴∠360°,又OAOC

∴△AOC是等边三角形,

∴∠COF60°

RtCOF中,tanCOF

CF

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