Question

【题目】如图1所示是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图2所示的矩形图案拼接而成(不重叠，无缝隙)，小明发现图（2）具有对称之美，它既是轴对称图形，也是中心对称图形，并对这个图形进行探究．

（1）如图3，若知图案的一部分，请你根据如图2将图3的图案补充完整(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

（2）如图4，，，上、下两个阴影部分的面积之和为，其内部菱形由两组距离相等的平行线两两相交得到，求该菱形的周长；

（3）小明认为：图4中的4个空白部分在一定条件下能拼成一个正方形(不重叠，无缝隙)，请你帮助小明写出应满足的条件(提示：求出与的长度之比，并指出点、的位置)．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）先做出最上方的三角形，然后将上下两个三角形的边分别延长即可；

（2）设出AB=，BC=，表示出MN，及NP+MQ，表示出上下阴影面积之和，求得，利用勾股定理求得BE，利用求得EH，MH，得菱形周长；

（3）设，，根据中间为正方形表示FH，AM及HM，利用

计算出与比值即可．

（1）尺规作图，如图所示：

（2）∵，，

∴设，，

∴，，

∴，

∴，

∴

解得，∴，(舍)，

∴，， ，，

又∵，

∴即，

∴，

∴，

∴

（3）由题意得

，，四边形为直角梯形且

设，，

∴，，，

∴

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，∴

即即