Question

如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设

CD

、

CE

的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）的值为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，根据垂径定理得BG=AG=

1

2

AB=2，在Rt△MBG中，利用勾股定理可计算出MB²-MG²=BG²=4，即R²-MG²=4，接着根据切线的性质得NF⊥AB，易判断四边形MGFN为矩形，得到MG=NF=r，则R²-r²=4，利用圆的周长公式得到z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r），然后变形得到（R²-r²）•2π，再利用整体代入的方法计算．

解答：解：过M作MG⊥AB于G，连MB，NF，如图，设⊙M，⊙N的半径分别为R，r，
∵MG⊥AB，
∴BG=AG=

1

2

AB=2，
在Rt△MBG中，MB²-MG²=BG²=2²=4，
即R²-MG²=4，
又∵大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，
∴NF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴四边形MGFN为矩形，
∴MG=NF=r，
∴z（x+y）=（CD-CE）（π•R+π•r）
=（2R-2r）（R+r）•π
=（R²-r²）•2π
=4•2π
=8π．
故答案为8π．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理和垂径定理．