Question

老师布置了一道考题：如图所示，点M、N分别在正△ABC的边BC、CA上，且BM=CN，AM交BN于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思和探究，得出如下许多结论：
①若将题中的“BM=CN”与∠BQM=60°位置交换，则命题正确；
②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，直线AM、BN交点为Q，则∠BQM=60°；
③若将题中的条件“点M、N分别在正△ABC的边BC、CA上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上”，且BM=CN，AM交BN于点Q，则∠BQM=90°；
④把③中的“BM=CN”与∠BQM=90°的位置互换，则命题正确；
…
请你判断上述四个结论正确的有

 

（填序号即可）
选择其中的一个结论给出你的证明（自己画出图形，然后结合图形证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：如图，证明AB=BC，∠ABM=∠BCN；进而证明△ABM≌△BCN，得到∠QBM=∠BAM；结合∠BAM+∠QBM=90°，即可解决问题．

解答：解：①②③④四个结论均正确；下面近就③给出证明如下：
如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN；
在△ABM与△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠QBM=∠BAM；而∠BAM+∠QBM=90°，
∴∠QBM+∠BMQ=90°，
∴∠BQM=90°．

点评：该题主要考查了等边三角形、正方形的性质、全等三角形的判定及其性质的应等几何知识点问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，数形结合，找出图形中隐含的等量关系或全等关系．