Question

如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，∠C=30°．
（1）求BD的长；  
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）根据切线的性质得BA⊥CA，则∠BAC=90°，则利用互余可计算出∠B=60°，易得△OBD为等边三角形，所以BD=OB=1；
（2）由△OBD为等边三角形得到∠BOD=60°，则∠AOD=120°，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S_△OBD+S_扇形OAD进行计算即可．

解答：解：（1）∵CA切⊙O于A，
∴BA⊥CA，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠B=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OB=1；

（2）∵△OBD为等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=120°，
∴阴影部分的面积=S_△OBD+S_扇形OAD
=

3

4

×1²+

120•π•12

360

=

3

4

+

π

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形的面积公式．