Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．连接CE，连接DE交AC于F．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD=4，AB=6，求

AC

AF

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90，即可解决问题．
（2）证明∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD，进而得到△AFD∽△CFE，AD：CE=AF：CF；求得CE=3，AD=4，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
（2）解：∵E为AB的中点，
∴CE=

1

2

AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA；
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF；
∵CE=

1

2

AB=3，AD=4，
∴

AF

CF

=

AD

CE

=

4

3

，
∴

AC

AF

=

7

4

．

点评：该题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．