Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于D．
（1）求证：△ABC∽△BDC；
（2）设AB=1，求BC的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；
（2）由△ABC∽△BDC，得出AB：BD=BC：DC，再证出AD=BD=BC即可求出BC的长．

解答：（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：设BC为x；∵△ABC∽△BDC，
∴

AB

BD

=

BC

DC

，
∵∠BAC=∠ABD=∠CBD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
∴BD=AD=x，DC=1-x，
∴

1

x

=

x

1-x

，即x²=1-x，
解得x=

-1± 5

2

（负值舍去），
∴x=

-1+ 5

2

，
即BC=

-1+ 5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解决问题的关键．