Question

10．已知反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$（m为常数）的图象在第一、三象限内．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（-2，0）．
①求出该反比例函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，且在△DOP中，OD=OP，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由图象在第一象限可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）①由平行四边形的性质可求的D点坐标，代入可求得反比例函数解析式；②以O为圆心，OD为半径作圆，再根据对称性可求得该圆与反比例函数图象的交点坐标．

解答 解：
（1）∵反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$（m为常数）的图象在第一、三象限内，
∴m-1＞0，
解得m＞1；

（2）①∵四边形ABOC为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴m-1=2×3=6，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$；
②如图所示，以O为圆心，OD长为半径作圆O，与双曲线$y=\frac{6}{x}$分别交于D，P₁，P₂，P₃四点．

根据图形的对称性，得
点D（2，3）关于直线y=x对称点P₁的坐标为（3，2）；
点D（2，3）关于原点中心对称点P₂的坐标为（-2，-3）；
点P₁（3，2）关于原点中心对称点$P_3^{\;}$的坐标为（-3，-2）．
由于O、D、P₂三点共线．
所以符合题意的P点只有两点，其坐标分别为（3，2），（-3，-2）．

点评 本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等．在（1）中注意反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中k与图象的关系，在（2）①中求得D点坐标是解题的关键，在②中确定出P点的位置是解题的关键．本题主要考查基础知识，难度不大．