Question

【题目】如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点O是边AB上的一个动点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与边AC交于点M．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，⊙O的直径是　 　；

（2）如图2，当⊙O与边BC相切时，切点为点N，试求⊙O与△ABC重合部分的面积；

（3）如图3，当⊙O与边BC相交时，交点为E、F，设CM＝x，就判断AEAF是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请用含x的代数式表示．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）不是定值，理由见解析

【解析】

（1）由AB是圆的直径知∠C＝90°，再根据勾股定理求解可得；

（2）连结ON，OM，先证tan∠B＝知∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，设ON＝OA＝r，证△OBN∽△ABC得，据此求出r的值，再计算出2S扇形MON和S△AOM，从而得出答案；

（3）设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，证△AGE∽△AFC得，由AC＝2，CM＝x知AM＝2﹣x，再证∠AOM＝60°得OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，从而知AEAF＝ACAG＝8﹣4x，据此得出答案．

（1）∵AB是圆的直径，

∴∠C＝90°，

∵AC＝2，BC＝2，

∴AB＝4故答案为4；

（2）如图2，连结ON，OM，

∵⊙O与边BC相切于点N，

∴ON⊥BC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，

∴tan∠B＝，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，

∵OA＝OM，

∴∠OMA＝∠A＝60°，

∴∠AOM＝60°，∠MON＝60°，

设ON＝OA＝r，

∵∠BNO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，

∴△OBN∽△ABC，

∴，即，

解得r＝，

∴2S扇形MON＝，

∵S△AOM＝，

∴⊙O与△ABC重合部分的面积是 ．

（3）AEAF不为定值，理由如下：

如图3，设⊙O与AB的另一交点为G，连结GE，OM，

∵AG是⊙O的直径，

∴∠GEA＝90°＝∠C，

在圆内接四边形AGEF中，∠AGE+∠AFE＝180°，

∵∠AFC+∠AFE＝180°，

∴∠AGE＝∠AFC，

∴△AGE∽△AFC，

∴，

∵AC＝2，CM＝x，

∴AM＝2﹣x，

∵∠OMA＝∠OAM＝60°，

∴∠AOM＝60°，

∴OA＝AM＝2﹣x，

AG＝2AO＝4﹣2x，

∴AEAF＝ACAG＝8﹣4x，

∵x不是定值

∴AEAF不是定值．