Question

如图，正方形ABCD中，M、N分别为BC和CD边上的两点，∠MAN=45°．
（1）求证：BM+DN=MN；
（2）若AB=6，MN=5，求BM的长和△CMN的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，根据旋转的性质可得AE=AM，BM=DE，∠DAE=∠BAM，然后求出∠EAN=∠MAN=45°，然后利用“边角边”证明△AMN和△AEN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=EN，再根据DE+DN=EN等量代换即可得证；
（2）设BM=x，表示出CM、DN、CN，然后利用勾股定理列出方程求解得到x，再利用三角形的面积列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
由旋转的性质得，AE=AM，BM=DE，∠DAE=∠BAM，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠DAE+∠DAN=∠BAM+∠DAN=90°-45°=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
在△AMN和△AEN中，

AE=AM ∠EAN=∠MAN AN=AN

，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN=EN，
∵DE+DN=EN，
∴BM+DN=MN；

（2）解：设BM=x，则CM=6-x，DN=5-x，CN=6-（5-x）=x+1，
在Rt△MNC中，CN²+CM²=MN²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
∴BM的长为2或3；
当BM=2时，CM=6-2=4，CN=2+1=3，
△CMN的面积=

1

2

×3×4=6，
当BM=3时，CM=6-3=3，CN=3+1=4，
△CMN的面积=

1

2

×3×4=6．
综上所述，BM的长为2或3，△CMN的面积是6．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记正方形的性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．