Question

【题目】(1)猜想：如图①，在中，点是对角线的中点，过点的直线分别交、于点、，若的面积是8，则四边形的面积是________.

(2)探究：如图②，在菱形中，对角线、交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，求四边形的面积.

(3)应用：如图③，在中，，延长到点，使，连结，若，，则的面积是_______.

Answer 1

【答案】(1)4；(2)12；(3)1.

【解析】

（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA＝OC．根据平行线的性质可得∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，进而可根据AAS证明△AEO≌△CFO，再根据全等三角形的性质可得结论；

（2）根据菱形的性质得到AD∥BC，AO＝CO，，根据全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，于是得到结果；

（3）延长AC到E使CE＝AC＝4，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质得到∠E＝∠BAC＝90°，根据勾股定理得到DE＝3，即可得到结论．

(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA＝OC．

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，

在△AOE和△COF中，，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴四边形CDEF的面积＝S△ACD＝ABCD的面积＝4；

故答案为：4；；

(2)∵四边形是菱形

∴，，，

∴

在和中，

∴.

∴四边形的面积的面积

由勾股定理可求得

∴

∴四边形的面积的面积；

(3) 延长AC到E使CE＝AC＝1，

在△ABC与△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE（SAS），

∴∠E＝∠BAC＝90°，

∴DE＝，

∴S△ABD＝S△ADE＝AEDE＝×2×1＝1．

故答案为：1．