【题目】如果一条抛物线与x轴的两个交点为A,B(点A在点B的左侧,顶点为P,连接PA,PB,那么称PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”。
(1)请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时,抛物线的表达式(写出一个即可);
(2)若抛物线的“抛物线三角形”是等边三角形,求b的值;
(3)若抛物线不存在“抛物线三角形”则a,b,c之间应满足怎样的关系式?请直接写出关系式。
【答案】(1)“抛物线三角形”是等腰直角三角形时,抛物线的表达式可以为(答案不唯一);(2);(3).
【解析】
(1)利用等腰直角三角形的性质可知P点的纵坐标为AB的一半,据此可设出P、A、B的坐标,可写出抛物线的表达式;
(2)过点P作PH⊥AB于H,由等边三角形的性质可得到PH= AH,再用b表示出P点坐标,则可得到关于b的方程,可求得b的值;
(3)由条件可知P、A、B三点不能构成三角形,则可知A、B重合或没有A、B两点,即抛物线与x轴有一个或没有交点,则可得到a、b、c的关系.
(1)不妨设抛物线的对称轴为轴,即设抛物线解析式为,
则,,,
∵为等腰直角三角形,
∴,即,解得.
∴“抛物线三角形”是等腰直角三角形时,抛物线的表达式可以为;
(2)如图,过点作于,
∵是等边三角形,
∴,
∵抛物线的顶点坐标为,
∴,解得;
(3)当抛物线不存在“抛物线三角形”,
则,,三点不能构成三角形,即抛物线与轴有一个或没有交点,
∴方程有两个相等的实数根或没有实数根,
∴.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
A. 3B. 6C. 9D. 4
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,已知△DEF的面积为S,则四边形ABCE的面积为( )
A. 8S B. 9S C. 10S D. 11S
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1,0)、C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC为等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b的图象分别交x轴,y轴于A、B两点,与反比例函数y2=的图象交于C、D两点,已知点C的坐标为(﹣4,﹣1),点D的横坐标为2.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)直接写出当x为何值时,y1>y2?
(3)点P是反比例函数在第一象限的图象上的点,且点P的横坐标大于2,过点P做x轴的垂线,垂足为点E,当△APE的面积为3时,求点P的坐标.
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【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:
组别 | 个数段 | 频数 | 频率 |
1 | 5 | 0.1 | |
2 | 21 | 0.42 | |
3 | |||
4 |
(1)表中的数 , ;
(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;
(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.
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