Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），

∴可设抛物线的解析式为：，

      将C点坐标（0， 3）代入，得：，解得 。

∴抛物线的解析式为：，即。

       

∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x²﹣3x。

∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，

∴。

∴当x= 时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。

（3）在y轴上存在点M，能够使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：

∵，∴顶点D的坐标为（﹣1， 4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。