Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∠ABC=52°，BC交⊙O于点D，E是AB上一点，延长DE交⊙O于点F．

（Ⅰ）如图①，连接BF，求∠C和∠DFB的大小；

（Ⅱ）如图②，当DB=DE时，求∠OFD的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∠C=38°；∠DFB=38°；（Ⅱ）∠F=24°．

【解析】

（1）连接AD，利用切线的性质得出∠BAC=90°，从而得出∠C的度数；利用是⊙的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠DAB的度数，进而得出的度数；

（2）连接OD，利用∠BED=∠B =52°，得出∠BDE的度数，利用OB=OD得出∠BDO的度数，从而得出∠ODF的度数，进而得出∠F的度数．

解：（Ⅰ）如图，连接AD．

∵ AC是⊙的切线，是⊙的直径，

∴ AB⊥AC，即∠BAC=90°．

∵∠ABC=52° ，

∴∠C=90°－∠ABC=90°－52°=38°．

由是⊙的直径，得∠ADB=90°．

∴∠DAB=90°－∠ABC=90°－52°=38°．

∵

∴=∠DAB=38°．

（Ⅱ）如图，连接OD．

在△BDE中，DB=DE，∠B=52°，

∴∠BED=∠B =52°，

∴∠BDE=180°－∠BED－∠B=76°．

又在△BOD中，OB=OD，∴∠BDO=∠B=52°，

∴ ∠ODF=76°－52°=24°．

∵ OD=OF，

∴∠F=∠ODF=24°．