Question

观察下列等式：
第1个等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)
第2个等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)
第3个等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)…
请解答下列各题：
（1）按以上规律列出第4个等式：a₄

 

；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a_n=

 

；
（3）求a₁+a₂+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（3）运用变化规律计算．

解答：解：根据观察知答案分别为：
（1）

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）；
（2）

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+…+

1

2

×（

1

199

-

1

201

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

199

-

1

201

）
=

1

2

（1-

1

201

）
=

1

2

×

200

201

=

100

201

．
故答案为：

1

9×11

=

1

2

×（

1

9

-

1

11

）；

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．

点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．