Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点P，PD⊥AC于点D
（1）求证：DP是圆O的切线；
（2）若∠ACB=30°，CP=1cm，连接OD，求OD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用圆周角定理得出∠APB=90°，进而利用等腰三角形的性质得出PC=PB，再得出PO是△BCA的中位线，即可得出OP⊥PD，得出答案即可；
（2）利用锐角三角函数关系得出PD，PO的长，再利用勾股定理求出答案．

解答：（1）证明：如图所示：连接AP，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
又∵AB=AC，
∴PC=PB（三线合一），
∵AO=BO，
∴PO是△BCA的中位线，
∴PO∥AC，
∵PD⊥AC，
∴OP⊥PD，
∴DP是圆O的切线；

（2）解：如图所示：连接OD，
∵∠ACB=30°，AC=AB，CP=1cm
∴∠ABC=30°，PD=

1

2

PC=

1

2

cm，PB=PC=1cm，
∴cos30°=

PB

AB

=

1

AB

=

3

2

，
解得：AB=

2 3

3

（cm），
则AO=OB=PO=

3

3

cm，
故DO=

PD2+PO2

=

( 1 2 )2+( 3 3 )2

=

21

6

（cm）．

点评：此题主要考查了切线的判定以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，得出PO是△BCA的中位线是解题关键．