Question

【题目】如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AD=CD，AB=3，BC=5．求：
（1）tan∠ACD的值；
（2）梯形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：作DE∥AB交BC于E，交AC于M，如图所示：

∵AB⊥AC，DE∥AB，

∴DE⊥AC，

∵AD=CD，

∴AM=CM，

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴DE=AB=3，

在Rt△ABC中，AC= = =4，

∴AM=CM=2，

∵AD∥BC，

∴DM：EM=AM：CM=1：1，

∴DM=EM= DE= ，

∴tan∠ACD= = = ；

（2）解：梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积= ×3×4+ ×4× =9．

【解析】（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，证出DE⊥AC，由等腰三角形的性质得出AM=CM，证明四边形ABED是平行四边形，得出DE=AB=3，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=4，得出AM=CM=2，由平行线分线段成比例定理得出DM=EM= DE= ，即可求出tan∠ACD= = ；（2）梯形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，即可得出答案．
【考点精析】通过灵活运用梯形的定义和解直角三角形，掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．